圆锥曲线第2讲椭圆的几何性质及其应用

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1、圆锥曲线第2讲椭圆的几何性质及其应用一、知识要点1．椭圆定义：2．标准方程：，（）3、椭圆性质：利用椭圆方程研究椭圆性质,体会数与形的一致性.问题1：“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围.答：由标准方程得：椭圆落在组成的矩形中．问题2：标准方程下的椭圆，有怎样的对称性？如何根据曲线方程判断其对称性？答：⑴方程中的换成方程不变，图象关于轴对称；换成方程不变，图象关于轴对称；把同时换成方程也不变，图象关于原点对称．⑵若曲线具有关于轴对称，关于轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定

2、具有第三种对称⑶原点叫椭圆的对称中心，简称中心．轴、轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距.问题3：什么是椭圆的顶点、长轴、短轴、长半轴长、短半轴长？椭圆有几个顶点？a,b.c的几何意义各是什么？答：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点.椭圆共有四个顶点，加两焦点共有六个特殊点.问题4：圆的形状都是相同的，而椭圆的形状则圆扁不一，如何刻画它的“圆”、“扁”的程度呢？问题5：离心率是怎样定义的？用什么表示？它的范围如何？这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？答：离心率概念：椭

3、圆焦距与长轴长之比；定义式：.范围：.问题6：椭圆形状与e的关系：，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例.4、椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆.其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率.回顾一下焦点在轴上的椭圆的标准方程的推导过程：若对椭圆标准方程推导过程中的关键环节进行适当变形，我们会有新的发现：7接上一讲成等差数列，设公差为(1)式与(

4、2)式两边平方,并相减得：，从而⑴，即⑵同时还有(3)观察上述三式的结构，说出它们各自的几何意义，引出椭圆的第二定义5、椭圆的准线方程⑴对于：相对于左焦点对应着左准线；相对于右焦点对应着右准线.⑵对于：相对于下焦点对应着下准线；相对于上焦点对应着上准线.⑶准线的位置关系：⑷焦点到准线的距离（焦参数）.二、典例分析：1、利用椭圆的第二定义解题例1、椭圆上有一点P，它到椭圆的左准线距离为10，求点P到椭圆的右焦点的距离.解：椭圆的离心率为，根据椭圆的第二定义得，点P到椭圆的左焦点距离为.再根据椭圆的第

5、一定义得，点P到椭圆的右焦点的距离为20－8＝12.评注：运用定义解题，基本着眼点.例2.已知，且满足，试判断点M的轨迹是怎样的曲线分析：若将原方程平方，化简后并不能直接判断出轨迹是什么曲线，注意式子结构的特点，左边可看成点M7到点（2，0）的距离，从而可联想右边可化为点M到直线的距离，即有，由此联想到椭圆的第二定义，就很简单地求出点M的轨迹是椭圆..评注：利用定义判断方程表示的曲线.例3、（1997年全国联赛题）若方程表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是（）A.（0，1）B.（1，+∞）C.（0，

6、5）D.（5，+∞）分析：由已知得即依题意，此方程表示椭圆，根据椭圆的第二定义，得，解得m>5，选D.评注：利用定义求离心率范围.例4、（2004年高考·全国卷III）设椭圆的两个焦点是F1（-c，0）、F2（c，0）（c>0），且椭圆上存在点P，使得直线PF1与直线PF2垂直，求m的取值范围.解：由题意知m>0，，且，②2－①得：又，所以，即，所以方法2：直接利用特征三角形可得评注：利用定义求参数的取值范围.例5、已知椭圆内有一点P（1，-1），F2为椭圆右焦点，M是椭圆上动点，求

7、MP

8、+

9、M

10、F2

11、最小值.解析：设椭圆的左焦点为F1，由平面几何知识，得，当且仅当M为线段F2P的延长线与椭圆交点时取等号.7,的最小值为.例6、（1999年全国联赛题）给定A（-2，2），已知B是椭圆上动点，F是左焦点，当取最小值时，求B点坐标.分析：此题如果按一般求最值的方法先建立目标函数，再求最值，因含有两个根式的和，代入消元不易，难以求解，但如果我们注意数量特征，利用椭圆定义合理转化，则可得到如下简解.解析：显然点A在椭圆内部，由椭圆第二定义可得：B到椭圆左准线l的距离，所以，结合平面几何知识，可知，

12、当AB⊥l时，最小，此时易求B点坐标为（，2）.2、椭圆离心率问题解题策略基本类型一、离心率定义、公式直接运用（直接求出或求出a与b的比值，以求解）在椭圆中，，;例7、（2007福建）已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为______．解：设c=1，则.变式1：若椭圆的离心率是，则实数的值是．两个值.设计意图：通过类似分析求解，让同学们理解和掌握“已知离心率时如何迅速求出方程中所含有的参数的值或参数之间的关系”，同时还训练了同学们的举一反三能力．变式2：（见上一讲义）椭圆