《5.1.1 归纳》同步练习

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1、《5.1.1归纳》同步练习一、填空题1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等号左边的项是__________．2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取______．3．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多了____项．4．设f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝______________.5．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·

2、3·…·(2n－1)”，从“n＝k到n＝k＋1”左端需增乘的代数式为__________．6．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝时，则n＝k＋1时的左端应在n＝k时的左端加上____________________________．7．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n＝k时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此

3、可知对于任何n∈N*，等式都成立．上述证明的错误是________________________．8．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)．依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________________．二、解答题9．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．10．在数列{an}中，a1＝，an＋1＝(n＝1,2,3，…)．(1)求a2，a3；(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．[来源:学科网ZXXK]答案：1．1＋a＋a2解析　

4、当n＝1时，an＋1＝a2.∴等号左边的项是1＋a＋a2.2．5解析　当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5.3．2k解析　观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)＝1＋＋…＋，而f(2k＋1)＝1＋＋…＋＋＋＋…＋.因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项．4.－5．2(2k＋1)6．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)27．没有用到归纳假设，不是数学归纳法8．Sn＝解析　S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，猜想Sn＝.9．证明　当n＝1

5、时，21＋2＝4>n2＝1，当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立．下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．②假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2，那么n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2

6、>2k2－2.要证当n＝k＋1时结论成立，只需证2k2－2≥(k＋1)2，即证k2－2k－3≥0，即证(k＋1)(k－3)≥0.[来源:Zxxk.Com]又∵k＋1>0，k－3≥0，∴(k＋1)(k－3)≥0.所以当n＝k＋1时，结论成立．由①②可知，n∈N*,2n＋2>n2.10．解　(1)a2＝＝＝，a3＝＝＝.(2)猜想an＝，下面用数学归纳法证明此结论正确．证明：①当n＝1时，结论显然成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝，那么ak＋1＝＝＝＝.也就是说，当n＝k＋1时结论成立．根据①②可知，结论对任意正整数n都成立，即

7、an＝.