二次函数专题

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1、专题六二次函数中存在性问题（1）二次函数中存在性问题是中考必考内容，主要与几何图形结合起来考查，且都以解答题形式出现，分值12分．预计2017年中考对二次函数存在性问题仍会考查，且涉及到的内容有：等腰三角形，直角三角形，相似三角形、面积最值、特殊四边形等存在性问题．相似三角形存在性问题【经典导例】【例1】如图，已知抛物线经过A(－2，0)，B(－3，3)及原点O，顶点为C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标；(3)P是抛物线上第一象限内的动

2、点，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)；y＝x2＋2x(2)当AO为平行四边形的边时，DE∥AO，DE＝AO，由A(－2，0)知：DE＝AO＝2,若D在对称轴直线x＝－1左侧，则D横坐标为－3，代入抛物线表达式得D1(－3，3),若D在对称轴直线x＝－1右侧，则D横坐标为1，代入抛物线表达式得D2(1，3).综上可得点D的坐标为(－3，3)或(1，3)；(3)存在．理由如下：∵B(－3，3)，C(－1，－1),得：BO2＝

3、18，CO2＝2，BC2＝20,∵BO2＋CO2＝BC2,∴△BOC是直角三角形，假设存在点P，使以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似，设P(x，y)，由题意知x＞0，y＞0，且y＝x2＋2x,。①若，则，即，11717得：x1＝3，x2＝－2(舍去).当x＝3时，y＝9，即P(3，9)；②若，则，即，得：x1＝3，x2＝－2(舍去)，当x＝3时，y＝15，即P(3，15).17故符合条件的点P有两个，分别是(3，9)或(3，15)．271．(2017预测)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点D的坐标为(1，8)，与y轴的交

4、点C的坐标为(0，3)，与x轴交于点A，B(A在B的左侧)．(1)求抛物线的表达式；(2)若过点A的直线l平分△ABC的面积，求直线l的表达式；(3)点P从点A出发，沿点A向点B运动，运动速度为每秒2个单位，同时点Q从B出发沿BC向点C运动，运动速度为每秒1个单位，连接PQ，运动时间为t.当其中一个点到达1终点时，另一个点立即停止运动．求当△PBQ与△ABC相似时t的值．33解：(1)y＝－8x2＋4x＋3338x24x＋3＝0，解得x(2)令y＝－＋1＝－2，x2＝4，∴点A(－2，0)，点B(4，0)．设3BC的中点为E，则点E的

5、坐标为(2，2)．∵直线l过点A，且平分△ABC的面积，∴直线l过点A和点E，3设直线l的表达式为y＝kx＋b，将点A(－2，0)，点E(2，2)代入得，解得33∴直线l的表达式为y＝8x＋4；(3)∵A(－2，0)，B(4，0)，C(0，3)，∴AB＝6，BC＝5.∵点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，∴BP＝，BQ＝∵∠PBQ＝∠ABC，1若，则，解得t＝；2若，则，解得t＝1536综上所述，△PBQ与△ABC相似时，t的值为8或17.选作题13如图，抛物线y＝－4x2＋2x－2交x轴于A，B两点(点A在点

6、B的左侧)，交y轴于点C，分别过点B，C作y轴，x轴的平行线，两平行线交于点D，将△BDC绕点C逆时针旋转，使点D旋转到y轴上得到△FEC，连接BF.(1)求点B，C所在直线的函数表达式；(2)求△BCF的面积；(3)在线段BC上是否存在点P，使得以P，A，B为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．等腰三角形存在性问题2【经典导例】【例2】如图，已知直线y＝3x－3分别交x轴，y轴于A，B两点，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A，B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点(与A点不重合)．(1)求抛物线的表

7、达式；(2)求△ABC的面积；(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．解：(1)抛物线表达式为y＝x2＋2x－3；11(2)S△ABC＝2AC·OB＝2×4×3＝6；(3)存在，理由如下：抛物线的对称轴为直线x＝－1，假设存在M(－1，m)满足题意，讨论：①当MA＝AB时，，解得m＝，∴M1(－1，)，M2(－1，)；②当MB＝BA时，，解得m1＝0，m2＝－6，∴M3(－1，0)，M4(－1，－6)(不符合题意舍去)；③当MA＝MB时，，解得m＝－1，∴M5(－1

8、，－1)，故共存在4个点M1(－1，)，M2(－1，－)，M3(－1，0)，M5(－1，－1)使△ABM为等腰三角形．直角三角形存在性问题【经典导例】如图，抛物线y＝ax2＋bx－4a经过A(－1，0)，C(0，4)两点