2.4.1教案：平面向量数量积的物理背景及其含义（孟胜奇）

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1、课题：2.4平面向量的数量积（第1课时）——平面向量数量积的物理背景及其含义东莞市第一中学孟胜奇一、教学目标1.知识与技能：（1）掌握平面向量数量积的定义，了解平面向量数量积的意义；（2）掌握平面向量数量积的几个重要性质；（3）会推导平面向量数量积的运算律；2.过程与方法：（1）通过平面向量数量积的生成过程，使学生体会数学概念的产生的方法；（2）尝试由定义导出平面向量数量积的性质；（3）由实数乘法的运算律类比得出平面向量数量积的运算律，体会类比思想.3．情感态度价值观：通过生成概念、探究平面向量数量积的性质与运算律等系列学习活

2、动，让学生体验概括抽象和类比联想的研究方法，增强学习兴趣。二、教材分析1.教材分析：数量积是平面向量的核心内容，平面几何中研究图形的位置关系和数量关系，位置关系中主要研究平行和垂直，数量关系中主要研究线段长度和角度，这些都与数量积的性质有着紧密的联系，因此，数量积的性质从本质上体现了人为定义数量积运算的必要性和价值；本节课知识点多、理论性强，涉及两个向量的夹角、数量积、投影、数量积的性质、数量积的运算律等问题，教学难度大，因此，教学中宜提纲挈领的策略，抓住要害与本质，化繁为简，化深为浅，采用逐一解决并及时巩固的方式展开．2.教

3、学重点：平面向量数量积的定义.3.教学难点：平面向量数量积的定义及运算律.三、教学方法研究式教学法：本节课呈现出由提出概念——探究性质——探究运算律——应用的线性思维方式，中间穿插有概括、类比等思维方式，因此，宜采用研究式教学法进行，就是教学思维展现出探究性特征.四、教学过程（一）设置情景，提出问题问题1同学们在前面的学习中，学了向量的哪几种运算？其运算结果是一个实数还是向量呢？那么，向量与向量之间的运算除了加法和减法外，是否能进行“乘法”运算呢？假设有，我们又将怎样规定这种“乘法”运算？【设计意图】从数学内部讲，有引入数量积

4、的必要性，在实践中，又能找到其背景，为数学发展找到合理依据.第6页共6页为此，我们先看看下面的例子：引例：物体在力的作用下产生的位移，按下列条件求力所做的功.（1）力F与位移S的方向一致。FFFF（2）力F与位移S的夹角为.解答：根据物理知识，易得（1）（2）.反思：在物理学中，力所做的功是.(其中是F与S的夹角)，结合上例，得到如下结论：(1)功是两个向量F和S的一种运算——“乘”的结果，而且这个结果是一个标量(数量)；(2)功不仅与力和位移的大小有关，而且还与它们的方向有关，也就是说，与力F和位移s的夹角有关．（二）探究解

5、决，形成概念问题2力和位移在物理学中是矢量，均可抽象为数学中的向量.在数学中，如果要规定两个向量的“乘法”运算，你的可能结果是什么？完成下表：物理学数学力F，位移S，F与S的夹角向量，夹角为第6页共6页功的“乘法”运算结果为：【设计意图】采用归纳、概括、类比抽象出数学知识，是科学研究中常用的手段.这里，借助物理学中功的计算，类比抽象出平面向量的数量积.定义：已知两个非零向量，我们把叫做的数量积，也叫做的内积，记作，即，其中为的夹角.规定：零向量与任一向量的数量积为0.练习1已知，的夹角为.当=时，求.练习2在练习1中，若设,，

6、试求.对数量积定义的认识与进一步理解：（1）力F所做的功可以表示为：；回到引例中的（2），.（2）中的“·”不能省略，也不能写成“”；（3）数量积的结果是一个数；（4）两个向量，的夹角.确定夹角的方法：通过平移，把始点放在同一点；两个平面向量夹角的范围为：.（5）我们以力F所做的功为背景，概括出平面向量的数量积这一概念，这一定义蕴育了丰富的内涵。一方面，从定义的过程可以看出它的物理意义，就是力所做的功；另一方面，由于定义涉及的模及夹角，这就为数量积赋予了丰富的几何内涵.（6）把叫做方向上的投影；把叫做方向上的投影.第6页共6页

7、（6）的数量积等于的长度与方向上的投影的乘积.这就是的几何意义.练习3在练习1中.（1）当=时，试求方向上的投影；（2）当=时，试求方向上的投影.（三）深入探究，发展能力1.探索平面向量数量积的性质问题3前面说过，平面向量的数量积定义有丰富的几何内涵，而在几何中，平行与垂直是最重要的两种形态，那么，在数量积中，若两个向量平行或者垂直，会有什么结论呢？【设计意图】从对向量的数量积的几何内涵的探讨中，在深化认识的同时，形成一些有价值的结论.探索：（1）若垂直.则，反之亦然.故有；（2）若平行.当方向相同时，有；当方向相反时，有；特

8、别是当时，有，若将记作，则.（3）；（4）.练习4在练习1的前提下，(1)，求；(2)，试求．2.探索平面向量数量积的运算律问题4第6页共6页我们知道，指数、对数都是一种新的运算，都有自己的运算律.两个向量的数量积是一个实数，可见平面向量的数量积运算与实数的运算关系密切．作为