差数列及其前n项和 （理）

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1、第2讲　等差数列及其前n项和考试要求1.等差数列的概念，B级要求；2.等差数列的通项公式与前n项和公式，C级要求；3.等差数列与一次函数、二次函数的关系，A级要求.知识梳理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，公差通常用字母d表示.数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数).(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝.同一个常数公差22.等差数列的通项公式与前n项和公式a1＋(n－1)d(n－m)d3.等差数列的有关性质递增

2、递减常数列md已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和.5.等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最值.大小1.(2015·全国Ⅱ卷)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝________.基础练习:2.(2015·全国Ⅰ卷)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和.若S8＝4S4，则a10等于________.3.(2015·广东卷)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.4.(2016·连云港质检)在

3、等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n＝________，Sn最大.1.(2015·全国Ⅱ卷)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝________.答案52.(2015·全国Ⅰ卷)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和.若S8＝4S4，则a10等于________.3.(2015·广东卷)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.答案104.(2016·连云港质检)在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n＝______

4、__，Sn最大.答案7考点一　等差数列的性质及基本量的求解【例1】(1)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝________.(2)(2016·泰州模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________.解析(1)法一(常规解法)设公差为d，则8a1＋28d＝4a1＋8d，即a1＝－5d，a7＝a1＋6d＝－5d＋6d＝d＝－2，所以a9＝a7＋2d＝－6.法二(结合性质求解)根据等差数列的定义和性质可得S8＝4(a3＋a6)，又S8＝4a3，所以a6＝0，又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.(2)法一设数列{a

5、n}的首项为a1，公差为d，由S3＝6，答案(1)－6(2)30规律方法(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【训练1】(1)若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于________.答案(1)13(2)48考点二　等差数列的判定与证明规律方法等差数列的判断方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数.(2)等差中项法：

6、验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立.(3)通项公式法：验证an＝pn＋q.(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.后两种方法只能用来判断是否为等差数列.实际考试中一般只用(1)定义法【训练2】(2016·南通一模)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.解(1)设等差数列{an}的公差为d，且d＞0，由等差数列的性质，得a2＋a5＝a3＋a4＝22，所以a3，a4是关于x的方程x2－22x＋117＝0的解，所以a3＝9，a4＝13，易知a1＝1，d＝4，故通项为an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.考点三　

7、等差数列的性质及应用【例3】(1)(2016·苏州调研)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于________.(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为________.解析(1)由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列.即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，得到S9－S6＝2S6－3S3＝45.(2)因为a1＋a2