设数列{an}前n项和

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1、B6-020 设数列｛an｝的前n项和Sn=2an-1（n=1，2，…）                                             （1）数列｛bn｝满足条件b1=3，bk+1=ak+bk（k=1，2，…）                                （2）求数列｛bn｝的前n项和．【题说】1996年全国数学联赛二试题1．【解】由（1）得a1=1．又由               an=Sn-Sn-1=2an-2an-1Þan=2an-1故an=2n-1，Sn=2n-1，从而=2n+2n-

2、1 B6-021 设r为正整数，定义数列｛an｝如下：a1=1，且对每个正整数n，证明每个an都是正整数，并且确定对哪些n，an是偶数．【题说】第一届（1992年）中国台北数学奥林匹克题4．【证】由题设，有（n+2）an+1=nan+2（n+1）2r                                    （1）两边同乘以n+1，得（n+2）（n+1）an+1=（n+1）nan+2（n+1）2r+1令bn=（n+1）nan（n=1，2，…），则b1=2，且bn+1=bn+2（n+1）2r+1（n=1，2，…）所以     

3、                          n

4、bn再将bn改写成即得（n+1）

5、bn．由于n，n+1互质，故n（n+1）

6、bn是正整数．在n≡3（mod4）时，用类似的方法也可证明在n≡0（mod4）时，an是偶数；在n≡不难验证．在n为奇数时，由（1）得an+1≡an（mod2）在n≡0（mod4），由（1）得2an+1≡2（mod4）所以an+1≡1（mod2）在n≡2（mod4）时，由上面所证an+1≡0（mod2）．所以由结论对an成立导出结论对an+1成立．于是，对一切自然数n，n≡0或3（mod4）时，an为偶数，

7、其它情况an为奇数． B6-023 设｛xn｝、｛yn｝为如下定义的两个整数列：x0=1，x1=1，xn+1=xn+2xn-1    （n=1，2，3，…）y0=1，y1=7，yn+1=2yn+3yn-1     （n=1，2，3，…）于是这两个数列的前几项是：         x：1，1，3，5，11，21，…                y：1，7，17，55，161，487，…证明：除了“1”以外，两个数列中不再有其他相同的数．【题说】第二届（1973年）美国数学奥林匹克题2．【证】用数学归纳法证明．｛xn｝从第3项起，奇数项被

8、8除余3，偶数项被8除余5．当n=2，3时，xn=3，5，结论成立．假设n≤k（k＞3）时结论成立，则当n=k+1时，xk+1=xk+2xk-1=（xk+xk-1）+xk-1因（xk+xk-1）被8除余数恰为0，故xk+1与xk-1被8除后，余数相同；而（k+1）与（k-1）奇偶相同．同法可证｛yn｝从第2项起，奇数项被8除余1，偶数项被8除余7．综上所述，除“1”外，二数列中没有别的数相同． B6-024 数列a1，a2，a3，…满足a1=1/2且a1+a2+…+an=n2an（n≥1）．确定an的值（n≥1）．【题说】第七届（197

9、年）加拿大数学奥林匹克题2．【解】令sn=a1+a2+…+an，则an=sn-sn-1=n2an-（n-1）2an-1 B6-025 设数列u0，u1，u2，…的定义如下：试证：这里[x]表示不大于x的最大整数．【题说】第十八届（1976年）国际数学奥林匹克题6．本题由英国提供．【证】首先用数学归纳法证明：当n＞0时，事实上，由可知命题对n=1，2为真．设命题对n=k-1，k为真，我们证明命题对n=k+1为真．令由数列的递推关系得=2f（k）+2f（k-1）+2-[f（k）+2f（k-1）]+2f（k）-2f（k-1）因为所以这就证明了

10、命题对n=k+1为真．易知是整数，从而2-f（n）是真分数，故 B6-026 设0＜u＜1，且定义证明：对n的所有值，un＞1．【题说】第九届（1977年）加拿大数学奥林匹克题6．【证】用数学归纳法证明1＜un≤1+u，n=1，2，…                                            （1）（Ⅰ）1＜u1=1+u满足（1）式．（Ⅱ）假设n=k时（1）满足，则即                                                 1＜uk+1＜1+u因此，对n所有值（1）成立

11、． B6-027 求实数a0的集合，使得由an+1=2n-3an，n=0，1，2，…定义的无限序列｛an｝是严格增加的，即对于n≥0有an＜an+1．【题说】1980年英国数学奥林匹克题4．【解】an+1=