22[1].3.2一元二次方程的应用——面积问题

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1、一元二次方程的应用——面积问题冯东霞一、基础回顾：1.一根20m长的铁丝围成一个矩形，若一边长为2m，则另一边长为______m,所围成的矩形的面积为______平方米，若设一边长是xm，，则另一边长为______m,若围成的矩形的面积为24平方米，则所得的方程是__________________，x的值是______。2.一块正方形的铁皮，四周截去一个边长为2cm的小正方形后，做成一个底面积为64cm的无盖容器，设正方形的铁片的边长为xcm,则可列方程__________________。例1:有一块矩

2、形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形?100㎝50㎝解:设切去的小正方形的边长为xcm.依题意可列方程（100-2x）（50-2x）=3600整理得x2-75x+350=0分解为(x-70)(x-5)=0x=70,x=5∵当x=70时（50-2x）＜0，∴x=5答：切去的小正方形的边长为5cm.例2：某农户利用25米长的墙为一边，用39米长的铁丝网当三边，围成了一个面

3、积为99m2的长方形鸡场，(1)求鸡场的长和宽各是多少？(2)怎样围能使鸡场面积最大？解:设垂直于墙壁的一边长为x米，则平行于墙壁的一边长为（39－2x）米。根据题意得:xx25米例3：某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条等宽的道路,余下部分作草坪,草坪面积为540米2，现在有位学生设计了一种方案,根据设计方案列出方程,求图中道路的宽是多少?则横向的路面面积为，分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2。解法一、如图，设道路的宽为x米，32x米2纵向的路面面积

4、为。20x米2注意：这两个面积的重叠部分是x2米？(1)所列方程是不是32×20-(32x+20x)=540图中道路面积不是(32x+20x)平方米正确的方程是：化简得，其中的x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去，所以x=2。答：所求道路的宽为2米。解法二：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）(2)(2)解法二如图，设路宽为x米草坪矩形的长（横向）为。（32-x)米草坪矩形的宽（纵向）为。(20

5、-x)米相等关系是：草坪长×草坪宽=540米2即化简得：其中的x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.所以x=2。答：所求道路的宽为2米。小结列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、验、答．这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求．练习1：一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000cm3，求铁板的长和宽．解：设铁

6、板的宽为xcm,则有长为2xcm5(2x-10)(x-10)=30002、用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2的矩形,若能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由.练习：解:设这个矩形的长为xcm,则宽为cm,即x2-10x+30=0这里a=1,b=－10,c=30,∴此方程无解.∴用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.练习：3.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:

7、道路宽为多少米?解:设道路宽为x米，则化简得，其中的x=35超出了原矩形的宽，应舍去.答:道路的宽为1米.练习：4.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为246m2,求小路的宽度.ABCD解:设小路宽为x米，则化简得，答:小路的宽为3米.5、学校课外生物小组的实验园地是一块长40米，宽26米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为864平方米，求小道的宽？解设小道的宽为x米。根据题意得:(40－2x)(26－x)=86

8、4（不合题意，舍去）答：小道的宽为2米。小道小道264040266、如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．练习：长、宽分别为7.5cm,20cm或10cm,15cm