《竞赛辅导三角函数》PPT课件

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1、三角函数与反三角函数，是五种基本初等函数中的两种，在现代科学的很多领域中有着广泛的应用．同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一．定义同角三角函数的基本关系图象性质单位圆与三角函数线诱导公式Cα±βSα±β、Tα±βy=asinα+bcosα的最值形如y=Asin(ωx+φ)+B图象万能公式和差化积公式积化和差公式Sα/2=Cα/2=Tα/2=S2α=C2α=T2α=正弦定理、余弦定理、面积公式降幂公式三角解题常规宏观思路分析差异寻找联系促进转化指角的、函数的、运算的差异利用有关公式，建立差异间关系活用公式，差异转化，矛盾统一1、以变角为主

2、线，注意配凑和转化；2、见切割，想化弦；个别情况弦化切；3、见和差，想化积；见乘积，化和差；4、见分式，想通分，使分母最简；5、见平方想降幂，见“1±cosα”想升幂；6、见sin2α，想拆成2sinαcosα；7、见sinα±cosα或想两边平方或和差化积8、见asinα+bcosα，想化为9、见cosα·cosβ·cosθ····，先若不行，则化和差微观直觉10、见cosα+cos(α+β)+cos(α+2β)····，想乘sinα+sinβ=pcosα+cosβ=q一、三角函数的性质及应用三角函数的性质大体包括：定义域、值域、奇偶性、

3、周期性、单调性、最值等．这里以单调性为最难．它们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中均有广泛的应用．【例1】求函数y=2sin(-2x)的单调增区间。【例2】若φ∈（0，），比较sin(cosφ)，cos(sinφ)，cosφ这三者之间的大小。解：∵在（0，）中，sinx

4、组化为∵x,-2y∈[-,]，函数f(t)=t3+sint在[-,]上单调递增，且f(x)=f(-2y)∴x=-2y，∴cos(x+2y)=1。【例4】求证：在区间（0，）内存在唯一的两个数c、d(c＜d)，使得sin（cosc）＝c，cos（sind）＝d．证明：考虑函数f（x）＝cos（sinx）－x，在区间[0，]内是单调递减的，并且连续，由于f（0）＝cos（sin0）－0=1>0，f（）＝cos（sin）－=cos1－<0，∴存在唯一的d∈（0，），使f（d）＝0，即cos（sind）＝d．对上式两边取正弦，并令c=sind，有s

5、in（cos（sind））=sind，sin（cosc）=c。显然c∈（0，）。且由y=sinx在（0，）上的单调性和d的唯一性，知c也唯一。故存在唯一的c＜d，使命题成立。【例5】α、β、γ∈（0，），且cotα=α，sin(cotβ)=β，cot(sinγ)=γ。比较α、β、γ的大小。解：∵α、β、γ∈（0，)∴cotβ>0，0cotγ。作出函数y=ctgx在（0，）上的图象，可看出：β<α<γ。【例6】n∈N，n≥2，求证：cos·cos·····cos>

6、证明：∵0<<<···<<<1∴01-=k=2，3，…，n。∴(cos·cos·····cos)2>()·()···()=()>>()2，∴cos·cos·····cos>【例1】（1）已知cosβ=-，sin(α+β)=，且0<α<<β<π，求sinα的值。（2）已知sin(-α)=，求的值。提示：（1）sinα=。（2）sin2α=1-2sin2(-α)=；=。【例2】求coscoscos…cos的值。解法1：利用公式cosθcos2θcos4θ···cos2nθ=得coscoscoscos=-co

7、scoscoscos=coscos=cos=∴原式==解法2：原式==·····==【例3】求cos420°+cos440°+cos480°的值。【例4】若sinα+cosβ=，cosα+sinβ=，求sinαcosβ的值。【例5】已知f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)是偶函数，0<θ<π，求θ。【例６】方程sinx+cosx+a=0在（0，2π）内有相异两根α、β，求实数a的取值范围，以及α+β的值。解：∵sinx+cosx+a=0，∴sin(x+)=-。令t=x+，则t∈(，)，sint=-作出函数y=sint，t∈(，)的图

8、象：，。,由图象可以看出：当-1<-<1且-≠即-2