实变函数第20讲

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1、实变函数第20讲第3章可测函数教学内容：依测度收敛3.2可测函数的逼近定理定义23.2.3依测度收敛设E可测集，却是E上几乎处处有限的可测函数。称在E上依测度收敛到的（记作），如果，恒有定理4(Lebesgue)设E是测度有限的可测集，函数序列是E上几乎处处有限的可测函数列，若，则证明，要证：事实上，由叶果洛夫定理，使得在上一致收敛到，即，恒有故即因此即刚才证明了：若，则成立。下列问题是自然的：问题：若在可测集上有，则是否一定有成立？下面例子是上述问题的一个否定回答：例1.设，对任意正整数，将等分，并定义令于是是上的处处有限的可测函数。对于

2、，若，则，有因此，若，则当是第次等分区间后所对应的函数组中第个时，即时，有因此，因为则从而，在上，有下证：在上处处不收敛。事实上，对于，有子列，合于：而也有子列，合于故并且因此不收敛。从而在处处不收敛。定理5.（Riesz定理）设是E上的可测函数，如果,则存在子序列，使得证明：要找的子序列,使即，因为所以，只需找使得，事实上，,由,有所以，对于恒有特别地，对于，有不失一般性，可设,则是的子列。现在来证：，有对于，因为，有故所以，从而，因此，即定理6.设是E上的可测函数，若,并且,则证明:我们只需证：，恒有即可。事实上，对于，因为故，有即，又

3、因为并且，所以并且故从而从而，习题三作业题14.设是上的两个可测函数序列，且,（都是上的有限函数），证明：（1）是上的可测函数；（2）对于任意实数15.设与都是上的可测函数，并且，若如果,则16.设,则17.若并且与在上几乎处处不等于0,则18.设是上的可测函数，,则当且是有限函数时，对于，有（1）（2）对于上的任意可测函数，有