实变函数讲稿20.pdf

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1、实变函数讲稿（第20讲）教学内容：依测度收敛详细教案§3.2.可测函数的逼近定理3.2.3依测度收敛定义2设E可测集，f(x)，f(x)，f(x)，"，却是E上几乎处处有12限的可测函数.称f(x)在E上依测度收敛到f(x)的(记作f⇒f),如果nn∀ε>0，恒有limmE{x

2、

3、f(x)−f(x

4、)≥ε}=0.nn→∞定理4（Lebesgue）设E是测度有限的可测集，函数序列f(x)，f(x)，f(x)，"12是E上几乎处处有限可测函数列，若f(x)→f(x)ae[..E]，则f⇒f.nn证明∀ε>0

5、，要证：limE{x

6、

7、f(x)−f(x

8、)≥ε}=0.nn→∞事实上，∀δ>0，由叶果洛夫定理，∃E⊂E，m(E−E)<δ，使得f(x)δδn在E上一致收敛到f(x)，即∃N∈`，∀n≥N，∀x∈E，恒有δδ

9、f(x)−f(x

10、)<εn故，∀n≥N，E{x

11、

12、f(x)−f(x

13、)≥ε}⊂E−E，即，nδmE{x

14、

15、f(x)−f(x

16、)≥ε}≤m(E−E)<δ.nδ因此，limmE{x

17、

18、f(x)−f(x

19、)≥ε}=0.即,f⇒f.□nnn→∞刚才证明了：若f(x)→f(x)ae[..E]，则f⇒f成立

20、.下列问题是自然nn的：问题若在可测集E上有f⇒f，则是否有一定有f(x)→f(x)ae[..E]nn成立？▉▉实变函数下面例子是上述问题的一个否定回答：例1.设E=)1,0[，对任意正整数，将k)1,0[等分，并定义⎧i−1i,1x∈[,)⎪f(k)(x)=kk(i=,2,1",k)i⎨i−1i⎪,0x∉[,)⎩kk令，)1(ϕ(x)=f(x)，11)2()2(ϕ(x)=f(x)，ϕ(x)=f(x)，2132)3()3()3(ϕ(x)=f(x)，ϕ(x)=f(x)，ϕ(x)=f(x)，415263"(

21、k)(k)(k)ϕ(x)=f(x)，ϕ(x)=f(x)，ϕ(x)=f(x)，"k(k−)11k(k−)12k(k−)13+1+2+3222∞于是，{ϕ(x)}是E上的处处有限的可测函数.nn=1对于∀ε>0，若ε>1，则∀n∈`，有E{x

22、

23、ϕ(x

24、)≥ε}=φ.因此，nlimmE{x

25、

26、ϕ(x

27、)≥ε}=0;nn→∞若ε≤1，则当ϕ(x)是第次等分k)1,0[区间后所对应的函数组中第i个时，即n(k)ϕ(x)=f(x)时，有niki−1iE{x

28、

29、ϕ(x

30、)≥ε}=E{x

31、

32、f(x

33、)≥ε}⊂[,)n

34、ikk因此，i−1i1mE{x

35、

36、ϕ(x

37、)≥ε}≤m(−)=.nkkkk(k+)1k(k+)1因为+1≤n≤+2,则221limmE{x

38、

39、ϕ(x

40、)≥ε}=lim=0.nn→∞k→∞k从而，在)1,0[上，有ϕ(x)⇒ϕ.n下证：ϕ(x)在)1,0[上处处不收敛.∞事实上，对于∀x∈)1,0[，{ϕ(x)}有子列{ϕ(x)}，合于：0n0nk0k=1102第20讲██ϕ(x)=1()∀k∈`，nk0∞而{()}ϕx也有子列{ϕ(x)}，合于n0mk0k=1ϕ()0x=()∀k∈`nk0∞故limϕ(

41、x)=1并且limϕ(x)=0.因此，{ϕ(x)}不收敛.从而，n→∞nk0n→∞mk0n0n=1{ϕ(x)}在)1,0[处处不收敛.n定理5.（Riesz定理）设f，f(n=,2,1",n)是E上的可测函数，如果nf⇒f,则存在子序列{f}，使得f(x)→f(x)ae[..E].nnini证明要找{f(x)}的子序列{f(x)}，使f(x)→f(x)ae[..E]，即nninimE{x

42、f(x)→/f(x)}=0，ni因为∞∞∞1E{x

43、fn(x)→/f(x)}=∪∩∪E{x

44、

45、fn(x)−f(x

46、)

47、≥}iikkNN=11=i=所以，只需找{f(x)}使得∀k∈`，ni∞∞1m[∩∪E{x

48、

49、fn(x)−f(x

50、)≥]}=0.ikNN=1i=事实上，∀∈i`，由f⇒f,有n1limmE{x

51、

52、f(x)−f(x

53、)≥}=0nn→∞i1所以，对于ε=，∃n∈`，∀n≥n时，恒有iii211mE{x

54、

55、f(x)−f(x

56、)≥}<.nii2特别地，对于∀i∈`，有11mE{x

57、

58、f(x)−f(x

59、)≥}<.niii2∞不失一般性，可设n

60、现在来证：∀∈k`,有103▉▉实变函数∞∞1m[∩∪E{x

61、

62、fn(x)−f(x

63、)≥]}=0.ikNN=1i=11对于∀∈k`,因为∀i>k,有<，故ik111mE{x

64、

65、f(x)−f(x

66、)≥}≤mE{x

67、

68、f(x)−f(x

69、)≥}<.niniiki2所以，∀∈n`,∞1mE[∪{

70、

71、()xfxfxn−≥()

72、}]ikiN=∞∞111≤−∑∑mEx{

73、

74、()()

75、}fnixfx≥