3、)∩(α,β)=∅.xxyyxxyy事实上，∀∈x(α,β)，取，δ=−min{βαxx,−}0xxxx00由α的定义，∃α,β′∈，使得α≤αα<+δ，并且xxxx∈()αβ,′⊂G，又由βx的定义∃β,α′∈，β>α′有β≥>ββ−δ且x∈(αβ′,)⊂G，所以，xxα<+αδxx≤+αxx00−=αx=−βx(βx−x0)≤βx−δ<β因此，x∈⊂()αβ,,(αxx]∪[,β)⊂G.0故,x∈G.从而，(αβ,)⊂G.0xx另外，如果α∈G，则∃α,β∈，α≺β，使αα∈(,β)⊂G.则xxx∈(αβxx,,)⊂=(ααx]∪
4、()αβx,x(α,βx)⊂G这与α的定义矛盾，故α∉G，同理β∉G.xxx再证(ii)，∀x,y∈G，若(α,,βα)≠(β)，且(αβ,)∩(α,β)≠∅因xxyyxxyy为()α,,βα≠()β,则α≠α，或者β≠β，不妨设α≠α，且α<α.xxyyxyxyxyxy又因为()αβ,∩(α,β)≠∅，取z∈(α,,βα)∩(β).所以xxyyxxyyααyx∈⊂(),,z(αxβx)⊂G，这与αy∉G矛盾.□1定理12.假设F是中的有界闭集，则infx∈F并且supx∈F.xF∈xF∈证明：记α=infx，对于∀n≥`，∃x∈F使nx
5、F∈1∞αα≤xnn<+→α(→∞).即存在{}x⊂Fnn=1n有limx=α.因为F是闭集.所以,α=inf∈F，同nx→∞xF∈40第8讲██理可证supx∈F.□xF∈定理13.设F是非空有界闭集，则F是由一闭区间中去掉有限个或可数个互不相交的开区间而成.证明：设F是非空有界闭集，α=infx，β=supx，则由定理12，有α∈F，xF∈xF∈β∈F，并且F⊂[α,β]，[αβ,]−F=(αβ,)−F是有界开集.所以,存在至多可数个互不相交的开区间{(αβii,)}i∈Λ使得[α,,β]−=F∪(αiβi).其中：i∈ΛΛ≤C0.从而
6、,F=−[α,β]∪(αi,βi).□i∈Λ1定理14.假设F⊂是非空有界闭集，则F是一个完备集当且仅当F是从一闭区间[ab,]中去掉有限个或可数个彼此没有公共端点且与[ab,]也无公共端点的开区间而成.n证明：因为F是中有界闭集，由定理13，存在开区间集{(αβ,)}使iii∈Λ得FF=[inf,supF]−∪(αi,βi)，其中Λ≤C0.i∈Λ(⇒)设F是一个完备集，显然1）{(αβ,)}无公共端点.iii∈Λ事实上，如果∃ii,∈Λ：i≠i使得(α,β)与(α,β)有公共端点.不失1212i11ii22i一般性，设β=α=∈xF.
7、取δ=−min{βα,β−α},则xF∈=F′，ii12ii11i2i2并且⎡⎤⎣⎦Ox(),δα−⊆{x}∩∪F⎡⎤⎣⎦(ii11,β)(αi2,βi2)∩F⎛⎞⊂⎡⎣(αβii11,,)∪(αi2βi2)⎤⎦∩⎜⎟[]ab,−∪()αβii,=∅,⎝⎠i∈Λ这与x∈F′矛盾.2)∀∈iΛ，α≠a，β≠bii事实上，若∃i∈Λ，α=a，取δ=β−α，则0i0i00i41▉▉实变函数⎛⎞Oa(),,δα∩∩F=⎡⎣ii00β)⎜⎟[]a,b−∪()αi,βi={a}⎝⎠i∈Λ这与aF∈=F′矛盾，所以∀i∈Λ，α≠a同理，∀i∈Λ，β≠b.
8、ii(⇐)只需证：FF⊂′.如果，∃∈xF，x∉F′，则∃δ>0，Ox(,,δδ)∩∩F=−(xx+δ){F=x}.故x是被挖去的开区间的公共端点，这与已知矛盾.□习题（作业）2
