实变函数讲稿17.pdf

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1、实变函数讲稿（第17讲）教学内容：可测函数的性质详细教案第三章可测函数1.2可测函数的性质n定义2设f(x),g(x)在可测集E∈上有意义（1）f(x)称为是在E上几乎处处有限的，如果E{x

2、f(x)=+∞}是零测集；（2）f(x)与g(x)称为是在E上几乎处处相等的，如果E{x

3、f(x)≠g(x)}是零测集.n性质1如果f(x)与g(x)在可测集E⊂R上几乎处处相等，则f(x)在E上可测⇔g(x)在E上可测证明：∀∈a，因为E{

4、()}xfxa>=E{

5、()}{

6、()xfxaExfxgx>=∩()}∪E{x

7、

8、f(x)>a}∩E{x

9、f(x)≠g(x)}，E{x

10、g(x)>a}=({

11、()ExgxaExgx>=}∩{

12、()fx()})∪∩({

13、()ExgxaExgx>≠}{

14、()fx()})而,E{x

15、f(x)>a}∩E{x

16、g(x)≠f(x)}与E{x

17、g(x)>a}∩E{x

18、f(x)≠g(x)}都是零测集.E{x

19、f(x)>a}可测⇔E{

20、()}{

21、()xfxaExfxgx>=∩()}可测⇔E{x

22、g(x)>a}∩E{x

23、g(x)=f(x)}可测⇔E{x

24、g(x)>a}可测从而，f(x)可测⇔g(x)可测.□性质2如

25、果f(x)是E上的可测函数，E是E的可测子集，则f(x)在E上00+∞测；反之，如果f(x)在每个E(i∈`)上可测，∪E=E，则f(x)在E上iii=1第17讲██可测.证明由于E{x

26、f(x)>a}=E∩E{x

27、f(x)>a}，00∞E{x

28、f(x)>a}=∪Ei{x

29、f(x)>a}i=1而右边的集合可测，从而左边的集合可测，所以f(x)在E可测，f(x)在E可0测.□性质3若f(x),g(x)都是可侧集E上的几乎处处有限的可测函数，则下列个条件成立：（i)cfx()在E上可测()c∈;（ii）f(x)+g(

30、x)在E上可测;2（iii）f(x)在E上可测;（iv）f(x)g(x)在E上可测;f(x)（v）当g(x)几乎处处为零时，在E上可测.g(x)证明（i）当c=0时，cfx()0≡，则对于∀a∈，有⎧Ea,0

31、()}>=⎨⎩φ,0a≥因此,cfx()可测；a当c≠0时，若c>0，则E{x

32、cf(x)>a}={x

33、f(x)>}可测;若c<0，ca则E{x

34、cf(x)>a}=E{x

35、f(x)<}可测.从而,cf在E可测.c（ii）令E=E−E{x

36、g(x)=+∞}.因为g(x)几乎处处有限，又因为0m

37、E{x

38、g(x)=+∞}=0，从而，E=E−E{x

39、g(x)=+∞}是E的可测子集.0∞取{}r是中的全体有理数，∀a∈,nn=1E{x

40、f(x)+g(x)>a}=E{x

41、f(x)+g(x)>a}∪E{x

42、g(x)=+∞}0=E{x

43、f(x)>a−g(x)}∪E{x

44、g(x)=+∞}0∞=[∪(E0{x

45、f(x)>rn}∩E0{x

46、g(x)>a−rn})]∪E{x

47、g(x)=+∞}.n=187▉▉实变函数因E{x

48、g(x)=+∞}是零测集，可测.由f(x),g(x)的可测性知：∀∈n`，E{x

49、f(x)>r}和

50、E{x

51、g(x)>a−r}可测.∀n∈`,E{x

52、f(x)+g(x)>a}0nn可测.从而,f(x)+g(x)在E上可测.2（iii）现证f(x)在E上可测2∀∈a，当a<0时，E{x

53、f(x)>a}=E可测;当a≥0时，2E{

54、()}xfxaExfx>={

55、

56、()

57、>a}=E{x

58、f(x)>a}∪E{x

59、f(x)

60、f(x)g(x)=+∞}，E=E{x

61、f(x)g(x)=−∞},因为12E⊂(E{x

62、f(x)=+∞}∩E{x

63、g(x)≥0})∪1(E{x

64、f

65、(x)=−∞}∩E{x

66、g(x)<0})∪(E{x

67、g(x)=+∞}∩E{x

68、f(x)≥0})∪(E{x

69、g(x)=−∞}∩E{x

70、f(x)<0})并且E=(E{x

71、f(x)=−∞}∩E{x

72、g(x)≥0})∪2(E{x

73、f(x)=+∞}∩E{x

74、g(x)<}0∪(E{x

75、g(x)=−∞}∩E{x

76、f(x)≥0})∪(E{x

77、g(x)=+∞}∩E{x

78、f(x)<0})而右边均为零测集，故E,E为零测集.E,E可测，而1212E=E{x

79、f(x)=+∞}∪E{x

80、g(x)=∞}0也是零测集，所以，E=E−(E∪E∪E

81、)是可测集.3012由性质2，我们只需证：f(x)g(x)在E上可测.事实上，3122f(x)g(x)=[(f(x)+g(x))−(f(x)−g(x))]4也在E上可测.从而,f(x)g(x)是E上的可测函数.31（v）我们仅证是E上的可测函数g(x)事实上，∀a∈，当a=0时，88第17讲██11E{x

82、>a}=E{x

83、g(x)>}0∪E{x

84、=+∞}可