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1、实变函数讲稿（第5讲）教学内容：n维空间中的点集详细教案：§1.3n维空间中的点集n距离的定义∀=Xxx(,,")，Yyy=∈(,,")定义1n1nn2ρ()()X,Yx=−∑iiyi=1n为中两点X和Y之间的距离.n距离的基本性质对于∀∈XYZ,,，则下列各条成立(i)非负性ρ(XY,)≥0.并且ρ(XY,0)=UXY=;(ii)对称性ρρ(XY,,)=(YX);(iii)三角不等式ρρρ(XY,,)≤+(XZ)(ZY,).证明:（三角不等式）nn222因为ρ()()XY,=−≤−xy⎡()xz+()zy−⎤∑∑ii⎣iiii⎦i
2、i=−11nnn22≤−+−−∑∑()xiizx2iiiizzyz+−∑()iiyii==11i=1nnnn2222≤−+∑∑∑∑()xiizx2()ii−z()zii−+−y()ziiyii==11i=1i=12⎛⎞nn222=−⎜⎟⎜⎟∑∑()xzii+−()zyii=+(ρρ()()XZ,,ZY)⎝⎠ii==11即,ρρρ()XY,,≤+(XZ)(ZY,).□2nnnn⎛⎞⎛⎞⎛⎞2注意:⎜⎟∑∑abiii≤⎜ai⎟⎜∑bi⎟.事实上,因为∑()atbii+≥0,⎝⎠ii==11⎝⎠⎝i=1⎠i=12nnnnnn⎛⎞⎛⎞222⎛⎞2
3、2则⎜⎟⎜⎟∑∑∑atii++20abtbii≥.所以⎜⎟24∑∑abii−ai∑bi≥0.⎝⎠⎝⎠ii==11i=1⎝⎠ii==11i=1第5讲██∞∞()m()mnn命题1设{X}和{Y}是中两个序列，X，Y是中两个点，m=1m=1()m()m如果当m→∞时，有ρ(XX,0)→并且ρ(YY,0)→，则m→∞时，()mm()ρρ()X,,YX→()Y.()mm()()m()m证明:因为ρρρ(XY,,)≤+(XX)()XY,+ρ(Y,Y)，又因为()mm()()mm()ρρ()X,,YX≤++()XXρ(,YY)ρ(,Y)，则()m
4、m()()m()mρρ()XY,,,,−()XY≤+→ρρ(XX)(YY)0（当m→∞时）.□n邻域的定义设x∈,常数δ>0，称集合0nOX()00,,δ={X∈<ρδ()XX}为以X为心，δ为半径的邻域（也称为是X点的δ−邻域）.001.3.1聚点、内点、边界点，Weierstrass定理nn设E是中一点集，P∈，则点P与点集E可能有如下三种关系.nn定义1.设E⊂，P∈(i)若存在δ>0，使得OP(,δ)⊂E，则称P为E的内点.；．．n(ii)若∀>δ0，有OP(,δ)∩E≠∅并且OP(,δ)∩(−E)≠∅，则称P为E的
5、界点；．．(iii)若∃>δ0使得OP(,δ)∩E=∅，则称P为E的外点；．．(iv)若∀>δ0，恒有⎡⎤OP(,δ)−{P}∩E≠∅，则称P为E的聚点.⎣⎦．．命题2点P是点集E的的聚点的充分必要条件是P的任何邻域内都有E中00无穷个点.证明：(⇒)设P是点集E的聚点.∀δ>0，因为⎡⎤OP(,δ)−{P}∩E≠∅.0⎣⎦0023▉▉实变函数讲稿取POP∈−⎡⎤(,δ){PE}∩，并且令δρ=(PP,)，则δ<δ，并且100⎣⎦1011⎡⎤⎣⎦OP()01,δ−{P0}∩E≠∅.又取PO∈−⎡⎤(P,δ){P}∩E，并令20⎣⎦10δρ
6、=()PP,，则δ<δ，并且20221⎡⎤⎣⎦OP()02,δ−{P0}∩E≠∅.又取POP∈−⎡⎤(,δ){P}∩E，…30⎣⎦20∞这样继续下去，得到一个互异的点列{}Pnn=1使得∀∈n`，POP∈⊂(,,δ)OP(δ)，即OP(,δ)中有无穷多个点.nn01−00()⇐∀>δ0，OP(0,δ)中有E的无穷个点，则OP(0,δ)−{P0}有E的无穷个点，故⎡⎤OP(),δ−{P}∩E≠∅.□⎣⎦00n定义2若E⊂，则E的聚点的全体记为E′称为E的导集；EE∪′称为E的闭包，记作E.定理1PE∈′的充分必要条件是P为E的极限点，即存
7、在一串互异的点列00．．．PE∈，使得ρ(PP,0)→→(n∞).nn0证明：()⇒PE∈′，即∀δ>0，⎡⎤OP(,δ)−{P}∩E≠∅.0⎣⎦001特别地，当δ=时，取POP∈−⎡⎤(,δ){PE}∩，110⎣⎦102⎧1⎫δρ20=min⎨()PP,1,2⎬，取PO20∈−⎡⎤⎣⎦(P,δ2){P0}∩E⎩⎭2⎧1⎫一般地，当n≥2时，δρ=min⎨()PP,,⎬，取nn01−n⎩⎭2POnn∈−⎡⎤⎣⎦(P00,δ){PE}∩∞这样的E中点列{}P满足：nn=1(1)ρρ()PP,,>>(PP)"">ρ(PP,)>01020n1∞
8、(2)∀∈n`,ρδ()PP,0<≤→,故{}P是0nn2nnn=1收敛于P的点列.0()⇐∀>δ0，因为ρ(PPn,00)→，则∃n∈`，使24第5讲██得∀≥nN时，恒有ρ(PP,)<δ，
