《实变函数》第1讲集合及其运算

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1、实变函数论第1讲集合及其运算目的：了解集合的表示法；掌握集合的基本运算；熟悉一些常用集合的符号；准确理解集合序列的上、下限集。重点与难点：集合序列的上、下限集。基本内容：一．背景1．Cantor的朴素集合论2．悖论3．基于公理化的集合论集合及其运算集合论产生于十九世纪七十年代，它是德国数学家康托尔（Cantor）创立的，不仅是分析学的基础，同时，它的一般思想已渗入到数学的所有部门。“集合论观点”与现代数学的发展不可分割地联系在一起。集合及其运算然而，任何一门学科的发展都不可能是帆风顺的，也不可能是完美无缺的，正是集合论，曾经给数学界带来了极大的恐慌，因为自从康托尔以相当随便的方式阐述了集合论

2、（即现在人们所说的相互集合论）之后，人们逐渐发现它存在着不可调和的矛盾。如罗素（BertrandRussell）于1918年叙述的著名“理发师”悖论，以及理查德（JulesRichard）编造的“理查德”悖论等等，都曾经常常困扰了数学家们。集合及其运算为避免集合论中的矛盾，人们求助于将Cantor的相互集合论加以公理化，以策密罗（ErnstZermelo）为首的一批数学家建立了一套集合论公理体系，即如今的形式集合论，从而避免了这一理论内已被发现的矛盾。然而，有关公理化集合论相容性尚未得到证明。庞加莱（Poincare）关于相容性问题做了一个风趣的评论：“为了防备狼。”尽管集合论不如人们所期望的

3、那样无懈可击，它在数学中的地位却不因此而降低。它始终是我们掌握许多理论所必须的基本知识。第1讲集合及其运算二．集合的定义1．集合的几种表示法我们在诸如《数学分析》等前期课程中已接触过集合这个概念，所谓集合，指的是具有某种特定性质的对象的全体，通常用大写英文字母A，B，X，Y…等表示；集合中的每个对象称为该集合的元素。一般说来，我们总用小写字母a,b,x,y…表示集合中的元素。集合及其运算对于集合A，某一对象x如果是A的元素，则称x属于A，记作；如果x不是A的元素，则称x不属于A，记为（或记为）。正如定义所说，集合是由具有某种特定性质的对象全体组成的，因此，在表示一个集合时，常把这一性质写出来，

4、例如，A是由具有性质P的元素全体组成时，通常记为：，其中P可以是一段文字，也可以是某个数学式子。集合及其运算2．几个特殊的集合及其表示：除了上述方法之外，有时也用特殊记号表示某些特殊的集合。比如，在大多数场合下，始终表示实数全体（或直线）C始终表示复数全体（或复平面），N、Z、Q分别表示自然数、整数、有理数全体，以后如无特别声明，我们也都不加解释地使用这些符号。此外，直线上的区间也采用诸如[a,b]，（a,b）等记号，如果一个集合仅由有限个元素组成，则最方便的办法是将其一一列出，例如，1到10的自然数全体可记作{1,2,3,…,10}，不含任何元素的集合称为空集，记作。集合及其运算三．集合的运

5、算1.集合的子集假设A,B是两个集合，如果A中的元素都是B中的元素，则称A是B的子集，记作，或记作。前者读作“A包含于B中”，后者读着“B包含A”。显然，空集是任何集合的子集，任何集合是其自身的子集。假如要证明A是B的子集，最常用的办法是，任取。如果A是B的子集，且存在，则称A是B的真子集，记作。如果A是B的子集，B又是A的子集，则称A与B相等，记作A=B。集合及其运算2．交运算所有既属于A，又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集（或通集），记作，若，则称A与B互不相交，显然B当且仅当且。对于一簇集合，可类似定义其交集，即集合及其运算3.并运算假设A，B是两个集合，所谓A与B的并集（或和集）

6、，指的是由A与B中所有元素构成的集合，记作，换句话说，对于一簇集合，可类似定义其并集，即集合及其运算4．差（余）运算由所有属于A但不属于B的元素组成的集合，称为A减B的差集，记作A-B（AB），也就是说，，但，应该注意的是，此处并未要求B是A的子集。假如B是A的子集，则称A-B为B关于A的余集，记作CAB。集合及其运算应该注意的是，此处并未要求B是A的子集。假如B是A的子集，则称A-B为B关于A的余集，记作CAB。需要指出的是，我们讲某个集合的余集时，要弄清相对于哪个集合的余集，特别是涉及到多个集合时，尤其应注意。有时，我们总是限定在某个固定集合A内讨论一些子集，在这种情况下，可以省略A，而

7、将CAB记作CB（或BC）。集合称为A与B的对称差，记作。第1讲集合及其运算四.集合的运算问题1：回忆数的四则运算，由此猜测集合的运算应该具有什么性质。集合及其运算定理1（1）（2）（3）（4）（5）（6）集合及其运算（7）（8）（9）（10）（11）（12）。集合及其运算上述基本性质都是常用的，其中（9），（10）两式通常称为德摩根（DeMorgan）法则，它们的证明也是容易的。现在以（10）式