2.1 实变函数第十讲

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1、实变函数论第十讲Lebesgue外测度第一章的主要内容(60分)集合的概念：掌握幂集和极限集。映射：一一映射和原像集。基数：基数的定义，可列基数和连续基数的一些性质：有理数怎么数？有没有最大的基数？欧氏空间：球和矩体，点集的极限点拓扑：闭集、开集及其性质：a.闭集外的点到闭集的距离。b.开集的所有点都是内点。c.距离是个连续函数第一章的主要内容(D-B+)掌握并会计算极限集。基数：理解基数的概念，熟悉基数的各种性质。欧氏空间：熟悉导集、孤立点这些的定义和一些简单的定理的推导。能证明一些集合是闭集、开集，会利用距离函数的连续性。A以上：主要是多了一些感觉。复习覆

2、盖的定义。Borel集是什么？点集间的距离函数是连续的。测度的定义测度是一个集函数，满足：1.非负性：2.规范性：3.可列可加性：不交的定义域中的集合问：我们应该怎么规定定义域？测度的定义域定义域应该包括以下集合：全集。（可以是无穷大）有测度的集合的可列并。有测度集合的补集。有测度的集合—————可测集Sigma-代数之前的要求即：1.2.1.2.3.测度的定义测度即一个定义在某sigma代数上的集函数，并满足非负性，规范性，可列可加性。问：Lebesgue测度的特殊要求是什么？Remark：Lebesgue测度可以认为是定义在包含了所有开集的最小sigma代

3、数上：Borel-sigma代数Lebesgue外测度定义：L-覆盖：一个集合A的一个L-覆盖是一个可数个开矩体的类，满足：开矩体定义其“体积”为：Lebesgue外测度规定任意集合A的L-外测度为：例：1.闭矩体的外测度:(暂不证明)外测度2.可列点集的外测度为0.证明：可以取到任意小的正数的L-覆盖n-1维的超平面的外测度为0.证明：类似于可列点集情形。4.Cantor集的外测度为0.外测度的性质非负性：显然。单调性：可列次可加性：稍微麻烦一点。证明：有限情形：对于全集，总是可以找到只比单独集合外测度之和大一点点的覆盖。外测度的性质：闭矩体的外测度：左边小

4、于右边是较显然的。另一边是因为：闭矩体是有界闭集，任意L-覆盖都有有限子覆盖，从而两边取下确界即可。外测度的性质：4.开矩体的外测度等于其“体积”。4.距离外测度性：设A,B是两个点集，若A,B的距离大于0，则：证明：先证引理：对任意性质4的证明引理证明：显然。证反方向:(类似于证明可列次可加)在接近外测度的L-覆盖中，构造稍微大一点点的距离小于的L-覆盖.距离外测度定理的证明：应用引理，证明外测度的性质：5.线性变化的不变性：对任意点集A，任意点x有：证明：L-覆盖是相互对应的。思考题提示：把A的L-覆盖加入或者去除到B的L-覆盖中。(i)任找A，B两个L-

5、覆盖，从中去掉有交集的部分。(ii)利用(i).3.反正E可以被可数这样的开球覆盖，然后利用可列次可加的性质。