实变函数论课件22讲

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1、第22讲Fubini定理(续)目的：掌握乘积测度的概念，熟练掌握Fubini定理并会运用，了解Fubini定理的证明。重点与难点：Fubini定理及其证明。基本内容：一．可测函数的截口问题1：微积分中累次积分的内层积分是什么意思？第22讲Fubini定理(续)第22讲Fubini定理(续)问题2：对Ln×Lm任意集合E及E上的可测函数f(x,y)，如果考虑关于f(x,y)的重积分化为累次积分问题，首先应考察什么？可测函数截口的定义：fx，fy。第22讲Fubini定理(续)定义3如果是上的函数，则对每个，记，它是定义在上的函数。第22讲Fubini定理(续)类似地，如果上

2、相对于的可测函数，即对任意及任意，，通常称该函数为-可测函数，则对任意，是上的可测函数，对任意是上的可测函数。第22讲Fubini定理(续)证明：对任意及任意，任取，则第22讲Fubini定理(续)由于故即由此得可测，同理可证是上的可测函数，证毕。定理6设，对任意，，记，则是上的可测函数，是上的可测函数。第22讲Fubini定理(续)则。证明：设M是使得定理成立的那些的集类，我们证明M具有如下性质：(i)若第22讲Fubini定理(续)(ii)若是M的互不相交的可数集列，则。第22讲Fubini定理(续)(iii)设，且则显然若则事实上，此时第22讲Fubini定理(续)

3、由此立知为证(1)，记由于第22讲Fubini定理(续)故由测度的可数可加性知单调递增收敛到，由于每个，即由单调收敛性定理立得由此得(i)。第22讲Fubini定理(续)若是M中互不相交的有限个集合，则，从而对任意第22讲Fubini定理(续)由定理5知及均是可测函数，注意到及，于是第22讲Fubini定理(续)由非负可测函数积分的有限可加性立得进而这说明，M中任意有限个不交的集合之并仍在M中，再利用(i)立得(ii)。则，且且，则，第22讲Fubini定理(续)至于(iii)的证明只需注意到若便容易证得。事实上，若第22讲Fubini定理(续)由(ii)的证明知故第22

4、讲Fubini定理(续)进一步由于第22讲Fubini定理(续)因此由及知进而这说明，依(iii)的假设，令，则且第22讲Fubini定理(续)由(i)立知所以第22讲Fubini定理(续)记对任意正整数由上面的证明知是含所有可测矩形的有限不交并的单调类，于是且是单调递增的集列，由(i)知。定理证毕。所以对任意及任意k,l,第22讲Fubini定理(续)有，不妨取，则二．Fubini定理的特殊形式第22讲Fubini定理(续)定理：设则第22讲Fubini定理(续)三．Fubini定理定理7富比尼（Fubini）定理设f是Rn+m上的Ln×Lm-可测函数，(i)若，且(a

5、)则分别是Rn和Rm上的可测函数，且(b)第22讲Fubini定理(续)(ii)若f满足(c)则f(x,y)是Rn+m上的可积函数。(iii)若f(x,y)是Rn+m上的可积函数，则对几乎所有的是Rm中的可积函数；同样，对几乎所有的是Rn中的可积函数，并且等式(b)成立。第22讲Fubini定理(续)证明：首先假设f是非负的，由定理5知是有意义的。设，且，则，由定理6知(b)成立。故(b)对所有-非负简单函数f成立，即对一般的-可测函数f，可作简单函数序列fk，使且fk处处收敛到f，，则第22讲Fubini定理(续)由Levi定理知单调递增收敛到，再一次利用Levi定理得

6、。但由fk的单调收敛性及Levi定理知，故。第22讲Fubini定理(续)类似可证，其中。为证(ii)，设是一般的-可测函数，且。第22讲Fubini定理(续)第22讲Fubini定理(续)将(i)中的f换成

7、f

8、，便不难得

9、f

10、是上的可积函数，从而由易知也是上的可积函数。第22讲Fubini定理(续)最后证(iii),由于是域，由f的-可测性不难证明均是可测的。又因为在中可积，故也可积,将(i)依次应用于立知均是上的可积函数，均是上的可积函数。第22讲Fubini定理(续)因为，故对使得且的每个是中的可积函数,但由的可积性知记，则，且对任意，从而在上可积，同理可证对几乎

11、所有的是上的可积函数，在等式(b)中，用代替代替f，等式仍成立，同理用代替代替f，(b)也成立，将所得的两等式相减立得，类似可得。证毕。第22讲Fubini定理(续)第22讲Fubini定理(续)注：虽然Fubini定理中加上了“f是-可测函数”的条件，但这一条件可以换成“f是上的可测函数”。这是因为，若f是上的可测函数，则对任意，是可测集，由本章§3定理2知存在，使，且。我们知道，去掉一个零测集并不影响函数的积分，所以只需在定理7的(i)中，将等式(a)改成对几乎所有的及几乎所有的，，则所有的结论仍然正确。第22讲Fubin