CH3集合的基本概念和运算

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1、离散数学CH3集合的基本概念和运算集合论简介康托(GeorgCantor，1845-1918)是集合论的创始人，为数学引入了集合和无限两个新事物。集合论是数学中许多分支的基础，是整个大厦的基础，是许多计算机科学理论不可或缺的工具。从历史上来看，1900年之前的数学几乎没有集合论的容身之地。当时的学术论文，文摘杂志上，集合论都被作为哲学的一部分。集合不仅可以用来表示数及其运算，更可以用于非数值信息的表示和处理，如数据的删除、排序、插入、数据间的关系描述。第3章集合的基本概念和运算集合是数学、计算机科学以及其他科学的最基础的知识之一本章学习：集合的基本概念和基本运算1．集合的基本概念2

2、．集合的基本运算3．集合中元素的计数3.1集合的基本概念康托关于集合的描述：集合是一些确定的、不同的事物的总体，这些事物人们可以意识到，并且能判断一个给定的事物是否属于这个总体。集合是由某些相互区别的事物汇集在一起组成的整体。例(1)所有偶数构成一个集合。(2)所有在20世纪80年代出生的人构成一个集合。(3)亚洲的国家的全体构成一个集合。(4)方程x2-1=0的全体实数解集合。(5)26个英文字母的集合。(6)计算机内存的全体单元的集合。3.1集合的基本概念集合是不能精确定义的、基本的数学概念一般认为一个集合指的是一些可确定、可分辨的事物构成的整体对于给定的集合和事物，应该可以断

3、定这个特定的事物是否属于这个集合如果属于，就称它为这个集合的元素集合的符号表示集合通常用大写英文字母表示。元素通常用小写字母表示。a是集合A的元素，记作aA，否则记为aA。符号代表的集合N(N+)自然数(正整数)集Z(Z+,Z-)整数(正整数,负整数)集Q(Q+,Q-)有理数(正有理数,负有理数)集R(R+,R-)实数(正实数,负实数)集C复数集集合的特点一个集合的元素有如下特点：(1)互异性；(2)无序性；(3)确定性在集合论中，规定元素之间是彼此相异的，并且是没有次序关系的例如:集合{3，4，5}，{3，4，4，4，5}{5，4，3}都是同一个集合集合的表示方法列举法（穷举

4、法）：把一个集合中的所有或者部分元素列举在花括号当中，元素之间用逗号隔开。例如：A={0,1,…,100}A={a，b，c，d}其中a是A的元素，记作a∈A同样有b∈A，c∈A，d∈A但e不是A的元素，可记作eA集合的表示方法描述法（谓词表示法）：用一个谓词公式P(x)表示x具有性质P，用{x

5、P(x)}表示所有具有性质P的事物组成的集合例如：{x

6、

7、x-2

8、≤1,x是实数}{x

9、x是自然数,x≤100}{x

10、x5+x4+x3+x+1=0}B={x

11、x∈Z3

12、{{d}}}a∈A,{b,c}∈A,d∈A,{{d}}∈A{b,c},{{d}}本身也是集合但，bA,{d}Ab是A的元素{b,c}中的元素，不是A的元素集合间的关系定义（包含关系）设A，B为集合，如果B中的每个元素都是A中的元素，则称B为A的子集合，简称子集合，或简称子集。这时也称B被A包含，或A包含B。记作：BA。包含的符号化表示为：BAx(x∈Bx∈A)例：令A={0，1，2}，B={0，1},C={1，2}则有BA，CA，AA对任何集合S都有SS定义（相等关系）设A，B为集合，如果BA且AB，则A与B相等，记作A=B，符号化表示为A=BABB

13、A如果A和B不相等，则记作A≠B由以上定义可以知道，两个集合相等的充分必要条件是它们具有相同的元素例如，A={x

14、x是小于等于3的素数}B={x

15、x

16、x=2∨x=3}则A=B定义（真子集）设A，B为集合，如果BA且B≠A，则称B是A的真子集，记作BA例如，{0，1}是{0，1，2}的真子集但{1，3}和{0，1，2}都不是{0，1，2}的真子集空集:不含任何元素的集合叫做空集，记作。空集可以符号化表示为:={x

17、x≠x}Ø={x

18、P(x)∧﹁P(x)}空集是客观存在的，例如:A={x

19、x∈R∧x2+1=0}是方程x2+1=0的实数解集。因为该方程没有实数解，所以A=集

20、合的简单性质:定理3.1空集是一切集合的子集。证明:任给集合A，由子集定义有⊆Ax(x∈x∈A)右边的蕴涵式中，因前件x∈为假，所以整个蕴涵式对一切x为真。推论空集是唯一的。证明:假设存在空集1和2，由定理3.1，有1⊆2和2⊆1，根据集合相等的定义得1=2。例3.1确定下列命题是否为真。（1）⊆；（2）∈；（3）⊆{}；（4）∈{}。解:（1），（3），（4）为真，（2）为假。注意和{}的区别：不含任何元素；{}含