微积分参考答案第二章

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1、第二章极限与连续习题二（A）１．观察判别下列数列的敛散性；若收敛，求其极限值：５n－３１（１）un＝；　　　　　（２）un＝ｃｏｓnπ；nnn１n（３）un＝２＋－；（４）un＝１＋（－２）；２２n－１n（５）un＝；（６）un＝a（a为常数）．n解　（１）将该数列具体写出来为７１７２２３２，，４，，，…，５－，…２４５n观察可知un→５（n→∞）．因此，该数列收敛，其极限为５．（２）因为１１n１un＝ｃｏｓnπ＝（－１）＝→０（n→∞）nnn所以，该数列收敛，其极限为０．（３）因为n１１un－２＝－＝n→０（n→∞）２２所以，该数列收敛，其极限为

2、２．（４）该数列的前五项分别为：－１，５，－７，１７，－３１，…观察可知un→∞（n→∞）．因此，该数列发散．（５）该数列的前五项分别为３８１５２４０，，，，，…２３４５16观察可知un→∞（n→∞）．所以，该数列发散．n（６）当a＜１时，un＝a→０（n→∞）；n当a＞１时，un＝a→∞（n→∞）；当a＝１时，un＝１→１（n→∞）；n当a＝－１时，un＝（－１），发散因此，a＜１时，数列收敛，其极限为０；a＝１时，数列收敛，其极限为１；a≤－１或a＞１时，数列发散．２．利用数列极限的定义证明下列极限：n２１n＋１（１）ｌｉｍ－＝０；　　　　　（

3、２）ｌｉｍ２＝１；n→∞３n→∞n－１２２１n＋a（３）ｌｉｍ＝０；（４）ｌｉｍ＝１（a为常数）．n→∞n＋１n→∞n证　（１）对任意给定的ε＞０（不妨设０＜ε＜１），要使n１un－０＝＜ε３只需１１n＞ｌｏｇ３　（∵０＜ε＜１，∴ｌｏｇ３＞０）εε１１取正整数N＝１＋ｌｏｇ３＞ｌｏｇ３，则当n＞N时，恒有εεn１－－０＜ε３因此n１ｌｉｍ－＝０．n→∞３（２）对任意给定的ε＞０，要使２n＋１２２１１un－１＝２－１＝２＝·≤＜εn－１n－１n＋１n－１n－１１只需n＞１＋．ε１取正整数N＝１＋，则当n＞N时，恒有ε２n＋１２－１＜εn－１由此可知

4、17２n＋１ｌｉｍ２＝１．n→∞n－１（３）对任意给定的ε＞０，要使１１１un－０＝－０＝＜＜εn＋１n＋１n１只需n＞２．ε１１取正整数N＝２＋１，则当n＞N＞２时，恒有εε１－０＜ε．n＋１由此可知１ｌｉｍ＝０．n→∞n＋１（４）对任意给定的ε＞０，要使２２２n＋aaun－１＝－１＝n２２n（n＋a＋n）２a＜２＜ε２na只需n＞．２εaa取正整数N＝＋１，则当n＞N＞时，恒有２ε２ε２２n＋a－１＜εn因此２２n＋aｌｉｍ＝１．n→∞n３．求下列数列的极限：３n＋５（１）ｌｉｍ；　　　　　　　（２）ｌｉｍ（n＋３－n）；n→∞２n→∞n＋n＋

5、４nnnnn１／n（－１）＋２（３）ｌｉｍ（１＋２＋３＋４）；（４）ｌｉｍn＋１n＋１；n→∞n→∞（－１）＋２１１１１＋＋２＋…＋n１１１２２２（５）ｌｉｍ１＋＋２＋…＋n；（６）ｌｉｍ．n→∞２２２n→∞１１１１＋＋２＋…＋n４４４18解　（１）因为５３＋３n＋５n＝→３（n→∞）２n＋n＋４１４１＋＋２nn所以３n＋５ｌｉｍ＝３．n→∞２n＋n＋４（２）因为３n＋３－n＝→０（n→∞）n＋３＋n所以ｌｉｍ（n＋３－n）＝０．n→∞（３）因为nnn１／nnnn１／n１２３（１＋２＋３＋４）＝４＋＋＋１→４（n→∞）４４４所以nnn１／nｌｉｍ（

6、１＋２＋３＋４）＝４．n→∞（４）因为n１nn－＋１（－１）＋２１２１n＋１n＋１＝·n＋１→（n→∞）（－１）＋２２１２－＋１２所以nn（－１）＋２１ｌｉｍn＋１n＋１＝．n→∞（－１）＋２２（５）因为１１－n＋１１１１２　　　　１＋＋２＋…＋n＝２２２１１－２n＋１１＝２１－→２（n→∞）２所以１１１ｌｉｍ１＋＋２＋…＋n＝２．n→∞２２２19（６）因为n＋１１１１１１＋＋２＋…＋n＝２１－，２２２２n－１１１－n＋１１１１４４１１＋＋２＋…＋n＝＝１－４４４１３４１－４于是n＋１１１１１１＋＋２＋…＋n１－２２２３２３＝·n＋１→（n→∞）１

7、１１２１２１＋＋２＋…＋n１－４４４４所以１１１１＋＋２＋…＋n２２２３ｌｉｍ＝．n→∞１１１２１＋＋２＋…＋n４４４４．利用函数极限的定义，证明下列极限：（１）ｌｉｍ（２x－１）＝５；　　　　　（２）ｌｉｍx－２＝０；x→３x→２＋２x－４（３）ｌｉｍ＝４；（４）ｌｉｍ（１－１－x）＝１．x→２x－２x→１－证　（１）对任意给定的ε＞０，要使（２x－１）－５＝２x－３＜εε只需取δ＝＞０，则当０＜x－３＜δ时，恒有２（２x－１）－５＝２x－３＜２δ＝ε因此ｌｉｍ（２x－１）＝５．x→３（２）对任意给定的ε＞０，要使x－２－０＝x－２＜ε２只零取δ

8、＝ε＞０，则当０＜x－２＜δ时，恒有x－２－０＝x－２＜δ＝ε所以ｌｉｍx－２＝０．x→２＋（３）对任意给定的ε＞０，要使