微积分(上册)习题参考答案

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1、参考答案0.预备知识习题0.11.（a）是（b）否（c）是（d）否2.（a）否（b）否（c）否（d）是（e）否（f）否（g）是（h）否（i）是3.,.4.，，.5.，，.6~15.略。16.证明：先证.若，则①如果，则;②如果，则，所以，也有，因此有.再证.若，则，或.①如果，有，所以，，又，于是②如果，，则有，，，所以，，于是.因此有.综上所述，，证毕.17~19.略。20..21.;35;22.23~25.略。26.不是到的映射，因为中元素4没有中的元素对应；（b）不是到的映射，因为中的元素2有两个内的元素和对应；是到的一个映射；（d）是到的映射。27.共有8种映射28.此映射为满射，但

2、非单射；（b）此映射双射，其逆映射为；此映射为双射，其逆映射为；（d）此映射为单射，但非满射，当然不是双射。29.，；.3530.31.（a）（b）（c）32..33.34.证明：因为对，必有（因为非空）使，所以为满射.同理可证为满射。为单射的充要条件是只有一个元素；为单射的充要条件是只有一个元素。习题0.21..2..3..4..5.严格单调减少.6.严格单调增加.7.单调减少.8.严格单调增加.9.偶函数.10.奇函数.11.奇函数.12.非奇非偶函数.13.证明：若，则有，，所以，，因此是一对一的.的反函数为，所以，反函数为其自身。定义域为.14..15.证明：若，则，，反证，如果，即

3、矛盾，所以，，即是一对一的.由得，因此的反函数为，即为其自身，定义域为35.16..17.略.18.提示：按奇函（偶）数定义证明.19.证明：反证，假设为严格单调增加的偶函数，则对，有另一方面：，所以有，矛盾。20.非周期函数.21.略22.是。例如，，在皆无界，但在有界.23.证明：对，存在，使，所以在上无界。24..25.，，.26..27.，，，，，.28..29.，，.1.数列的极限习题1.11.不能，例如取.2.不能，例如取.3.能，因为对，必存在正整数，使.4.存在一个，对任何，总存在，使.5.提示：利用数列极限定义.356~11.略。12.提示：按极限定义，可取.13.提示：利

4、用极限定义，可取.14.提示：按极限定义证明.15.提示：利用极限定义.16.反之不一定成立.17.当无界时，有以下各种情况：（1）极限仍为零，例如，；（2）极限存在，但非零，例如，；（3）极限不存在，例如：或，18.提示：根据数列与子数列极限之间的关系证明.19.利用极限的定义.20..21.利用极限的定义.22.根据夹逼定理证明.23.（1）1.（2）1.（3）0.（4）9.（5）0.24.（1）0.（2）.（3）0.（4）4.（5）.（6）0.（7）.（8）.（9）.（10）1.25.不一定，例如：.26.不一定，例如.27.必发散。反证，因为若收敛，则有收敛，与已知矛盾.28.不一定

5、，例如.29.必有，但不能推出，例如：.30.当时，为；当时，为；当时，为0.35习题1.21.（1）2.（2）.（3）.2.提示：（1）证明数列单调减少有下界.（2）利用定理1.2.8.（3）证明数列单调增加有上界.（4）证法（ⅰ）：先证数列单调减少，即可证，再证数列有下界；证法（ⅱ）：考察，证明，当时，.3.提示：利用极限的定义。4.提示：证明单调增加有上界；单调减少有下界.5.（1）提示：证明，.（2）提示：利用（1）的结论.（3）提示：利用（2）的结论.（4）提示：利用（3）的结论.（5）提示：利用（3）的结论6.提示：先证明，再证明单调减少.7.（1）.（2）.（3）.（4）1.（

6、5）.（6）.（7）0.（8）0.习题1.31.设是中的一个数列。若存在某个，对任何正整数，都存在，使.2.收敛.3.收敛.4.收敛.5.收敛.6.提示：对任意，必存在正整数，使.7.提示：利用定理1.3.3.8.提示：.9.提示：考察数列:，先证明收敛，再利用柯西收敛准则。10.提示：反证，考察且35.11.提示：对，.2．函数的极限与连续性习题2.11~13.略。14.115.116.－117.118.119.020.21.22.23.24.225.126.27.，28..29..30.31.032.33.034.35.36.37.38.039..40.41.242（1）;（2）43.当

7、时，；当时，0，当时，；当时，.44.提示：按极限定义证明.45.提示：用反证法和函数极限的定义。是可能的，例如，取，有习题2.21～4.略。5.不一定6.是7.不一定8.否，例如.9.（1）是（2）不一定10.提示：用连续的定义证明，反之不一定成立，例如.11.提示：对用极限定义对，三种情况进行证明.3513.在不连续，在可能连续，也可能不连续.14.与在有可能连续，也有可能不连续.16.提示：按极限的定义