控制系统的数学模型习题及答案

《控制系统的数学模型习题及答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第二章控制系统的数学模型习题及答案2-1试建立图2-27所示各系统的微分方程。其中外力F(t)，位移x(t)和电压ut)(为r输入量；位移y(t)和电压u(t)为输出量；（弹性系数），kf（阻尼系数），R（电阻）c，C（电容）和m（质量）均为常数。解（a）以平衡状态为基点，对质块m进行受力分析（不再考虑重力影响），如图解2-1(a)所示。根据牛顿定理可写出2dydyF(t)−ky(t)−f=m2dtdt整理得2dy(t)fdy(t)k1++y(t)=F(t)2dtmdtmm（b）如图解2-1(b)所示，取A,B两点分别进行受力分析。对A点有dxdy1k(x−x)=f(−)（1）1

2、1dtdt对B点有dxdy1f(−)=ky（2）2dtdt联立式（1）、（2）可得：dykkkdx121+y=dtf(k+k)k+kdt121210(c)应用复数阻抗概念可写出1R1U(s)=csI(s)+U(s)（3）rc1R+1csUc(s)I(s)=（4）R2U(s)R1(+RCs)c21联立式（3）、（4），可解得：=U(s)R+R+RRCsr1212duR+Rdu1微分方程为:c12r+u=+ucrdtCRRdtCR121(d)由图解2-1（d）可写出1U(s)=RI(s)+[I(s)+I(s)]（5）rRRcCs1I(s)=RI(s)−RI(s)（6）cRcCs1U(

3、s)=I(s)R+[I(s)+I(s)]（7）ccRcCs联立式（5）、（6）、（7），消去中间变量I(s)和CI(s)，可得：R222Uc(s)RCs+2RCs+1=222Ur(s)RCs+3RCs+122du3du1du2du1微分方程为ccrr++u=++u222c222rdtCRdtCRdtCRdtCR2-2试证明图2-28中所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统（即有相同形式的数学模型）。解(a)取A、B两点分别进行受力分析，如图11解2-2(a)所示。对A点有k(x−y)+f(x&−y&)=f(y&−y&)(1)2211对B点有f(y&−y&)=ky(2)11

4、11对式（1）、（2）分别取拉氏变换，消去中间变量y，整理后得1ff122f1f2ss+++()1Y(s)kkkk1212=X(s)ff122f1f2f2ss+()+++1kkkkk12121(b)由图可写出U(s)U(s)cr=11R+R⋅21Cs1Cs21R++2Cs11R+1Cs1整理得2Uc(s)R1R2C1C2s+(R1C1+R2C2)s+1=2Ur(s)R1R2C1C2s+(R1C1+R2C2+R1C2)s+1比较两系统的传递函数，如果设R====1,kR1,kCfC,f,则两系统的传递函数11221122相同，所以两系统是相似的。dhα12-3假设某容器的液位高度h

5、与液体流入量Q满足方程+h=Q，rrdtSS式中S为液位容器的横截面积，α为常数。若与hQ在其工作点(Q,h)附近做微量变rr00化，试导出Δh关于ΔQ的线性化方程。r解将h在h处展开为泰勒级数并取一次近似0dh1h=h+

6、Δ⋅h=h+⋅Δh（1）0h00dt2h0代入原方程可得d(h0+Δh)α11+(h+⋅Δh)=(Q+ΔQ)（2）0r0rdtS2hS0在平衡工作点处系统满足12dh0+αh=Q（30r0dt）式（2），（3）相减可得Δh的线性化方程dΔhαS+Δh=ΔQrdt2h02-4试求图2-29所示各信号x(t)的象函数X(s)。解（a）Θx(t)=2+(t−t)02

7、1−ts∴X(s)=+e02ss（b）Θx(t)=a+(b−a)(t−t)−(b−c)(t−t)−c(t−t)123∴X(s)=1[a+(b−a)e−t1s−(b−c)e−t2s−ce−t3s]s44T4T4（c）Θx(t)=t−(t−)−(t−)+(t−T)222222TTTT−T4s2−Ts∴X(s)=1(−2e+e)22Ts2-5求下列各拉氏变换式的原函数。−se(1)X(s)=s−11(2)X(s)=3s(s+)2(s+)3s+1(3)X(s)=2s(s+2s+)2解t−1(1)x(t)=e13−11311(2)原式＝+−++32(2s+)2(4s+)2(8s+)224s

8、(3s+)32−t−2tt−2t3−2t1−3t1∴x（t）＝e+e−e+e+4483241s1211s+111(3)原式＝−=−⋅+⋅2222ss+2s+22s2(s+)1+12(s+)1+111−t∴x(t)＝+e(sint−cost)22−2t−t2-6已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为c(t)=1−2e+e，试求系统的传递函数和脉冲响应。1解单位阶跃输入时，有R(s)=，依题意s1213s+21C(s)=−+=⋅ss+2s+1(s+1)(s+)2sC(s)3s+2∴