不等式性质与一元二次不等式

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1、第六章　不等式与证明第一节　不等式的性质及一元二次不等式【教学要求】1.了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景2.理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值3.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,能用不等式(组)研究含有不等关系的实际问题4.理解并掌据不等式的基本性质5.了解从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程6.理解一元二次不等式的概念7.通过图象,理解并掌握一元二次不等式、二次函数及一元二次方程之间的关系8.理解并掌握解一元二次不等式的过程9.会求一元二次不等式的解集1o.掌握求解一元二次不等式的

2、程序框图及隐含的算法思想,会设计求解的程序框图【知识梳理】1.不等式的基本性质(1)对称性：a>b⇔____.(2)传递性：a>b，b>c⇒____.(3)可加性：a>b⇒a+c>b+c.(4)可乘性：a>b，c>0⇒______；a>b，c<0⇒______.(5)加法法则：a>b，c>d⇒________.(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒______.(7)乘方法则：a>b>0⇒_____(n∈N，n≥1).(8)开方法则：a>b>0⇒(n∈N，n≥2).2.不等式的倒数性质(1)a>b，ab>0⇒(2)a<0

3、b>0，00⇔a__b.(2)a-b=0⇔a__b.(3)a-b<0⇔a__b.判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个相异实根x1，x2(x10(a>0)的解集Rax2+bx+c<0(a>0)的解集∅__5.一元二次不等式恒成立的条件(1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔(2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立

4、⇔【特别提醒】1.不等式两边同乘数c时，要特别注意乘数c的符号.2.当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况.考向一　比较大小及不等式性质的应用【典例1】(1)(2016·湖州模拟)已知x>y>z，x+y+z=0，则下列不等式中成立的是(　　)A.xy>yzB.xz>yzC.xy>xzD.x

5、y

6、>z

7、y

8、(2)(2016·舟山模拟)设a>1，且m=loga(a2+1)，n=loga(a-1)，p=loga(2a)，则m，n，p的大小关系为(　　)A.n>m>pB.m>p>nC.m>n>pD.p>m>n【解题导引】(1

9、)根据已知条件可判断出x和z的符号，然后由不等式的性质便可求解.(2)根据不等式性质和函数单调性求解.【规律方法】比较大小的策略(1)简单的代数式之间比较大小：往往利用不等式的性质求解.(2)指数型及对数型的代数式之间比较大小：一般采取构造函数，利用函数的单调性求解.(3)其他复杂的多项式之间比较大小：可以采取作差或作商来解决.易错提醒：1.利用不等式性质比较大小，一定要弄清参数的符号，明确什么情况下不等号方向改变.2.构造函数，用函数单调性比较大小，要注意函数是递增还是递减.【加固训练】1.已知下列四个条件：①b>0>a，②0>a>b，

10、③a>0>b，④a>b>0，能推出成立的有(　　)A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.4个2.如果a，b，c满足cacB.c(b-a)>0C.cb20，则A一定正确；B一定正确；D一定正确；当b=0时C不正确.考向二　一元二次不等式的解法【典例2】(1)(2015·山东高考)已知集合A={x

11、x2-4x+3<0}，B={x

12、2

13、.(2，4)(2)(2015·江苏高考)不等式<4的解集为________.【解题导引】(1)根据一元二次不等式的解法先求出集合A，再求解.(2)利用指数函数的性质，将原不等式化为关于x的一元二次不等式求解即可.【母题变式】1.若本例题(1)条件A={x

14、x2-4x+3<0}改为A={x

15、x2-4x+3>0}，则A∩B=______.【解析】解不等式x2-4x+3>0得x<1或x>3，所以A∩B=(3，4).答案：(3，4)2.若本例题(1)条件A={x

16、x2-4x+3<0}改为A={x

17、x2-4x+3≥0}，则A∪B=______.【解

18、析】解不等式x2-4x+3≥0得x≤1或x≥3,则A∪B=(-∞,1]∪(2,+∞)答案：(-∞,1]∪(2,+∞)【易错警示】解答本例题(2)时，在利用指数函数的性质把原不等式转化为一元二次