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时间:2019-05-10
《1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质(一)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质一般地,对于nN*有二项定理:一、新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些?共有多少个?下面我们来研究二项式系数有些什么性质?我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时,二项式系数有什么特点?1.“杨辉三角”的来历及规律杨辉三角展开式中的二项式系数,如下表所示:11121133114641151010511615201561………………二项式系数的性质展开式的二项式系数依次是:从函数角度看,可看成是以r为自变量的函数,其定义域是:当时,其图象是右图中的7个孤立点.二项式系数的性质2.二项式系数的性质(1)对称性与首末
2、两端“等距离”的两个二项式系数相等.这一性质可直接由公式得到.图象的对称轴:二项式系数的性质(2)增减性与最大值由于:所以相对于的增减情况由决定.由:二项式系数是逐渐增大的,由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值。可知,当时,因此,当n为偶数时,中间一项的二项式系数取得最大值;当n为奇数时,中间两项的二项式系数、相等,且同时取得最大值。(3)各二项式系数的和在二项式定理中,令,则:这就是说,的展开式的各二项式系数的和等于:同时由于,上式还可以写成:一般地,展开式的二项式系数有如下性质:(1)(2)当时当时,(3)课堂练习:1)已知,
3、那么=;2)的展开式中,二项式系数的最大值是;3)若的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大,则n=;例1证明在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.例23.已知,求:(1);(2);(3).二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数,它有三条性质,(1)对称性;(2)增减性与最大值;(3)各二项式系数和。要理解和掌握好,同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别,不能混淆,只有二项式系数最大的才是中间项,而系数最大的不一定是中间项,尤其要理解和掌握“取特值”法,它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。小结
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