1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质（一） (2)

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1、1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质一般地，对于nN*有二项定理:一、新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？1．“杨辉三角”的来历及规律杨辉三角展开式中的二项式系数，如下表所示：11121133114641151010511615201561………………二项式系数的性质展开式的二项式系数依次是：从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：当时，其图象是右图中的7个孤立点．二项式系数的性质2．二项式系数的性质（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．

2、这一性质可直接由公式得到．图象的对称轴：二项式系数的性质（2）增减性与最大值由于：所以相对于的增减情况由决定．由：二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。可知，当时，因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数、相等，且同时取得最大值。（3）各二项式系数的和在二项式定理中，令，则：这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：同时由于，上式还可以写成：一般地，展开式的二项式系数有如下性质：（1）（2）当时当时，（3）课堂练习：1）已知，那么=；2）的展开式中，二项式系数的最大值是；3）若的展开式中的第十项和

3、第十一项的二项式系数最大，则n=；例1证明在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．例23.已知，求：（1）；（2）；（3）.二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，（1）对称性；（2）增减性与最大值；（3）各二项式系数和。要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。小结