《1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件5

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1、计数原理第一章1.3二项式定理第一章1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质自主预习学案能用不完全归纳法写出杨辉三角形，并依据杨辉三角形验证组合数的性质，会推证并掌握二项式系数的性质，通过“杨辉三角”进行爱国主义教育．重点：二项式系数的性质．难点：二项式系数性质的应用．思维导航1．(a＋b)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：杨辉三角形与二项式系数的性质(表一)观察上表思考：(1)指数n的取值与展开式中的项数有何关系？(2)从第2行起，每一行除两端数字外，每一个数字与其上一行肩上的两个数字有什么关系？按照这个规律，你能写出n＝7、8时

2、，两行的系数吗？写出后自己用多项式乘法的法则或计算器验证．(3)每一行数从左右两端向中间看，你发现了什么规律？由此猜想(a＋b)9与(a＋b)10展开式中系数的最大值各是多少？(4)计算每一行各数之和后排在这一行的右侧，观察n的变化与和的变化，你发现了什么规律？据此猜想(a＋b)10展开式中各项系数的和是多少？并自己选择方法加以检验．杨辉三角形相等(3)如果二项式的幂指数是偶数，__________的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，__________的二项式系数相等并且最大．中间一项中间两项增大递减相等中间和2nn＋12n－1牛刀小试1．(20

3、14·秦安县西川中学高二期中)已知(1＋2x)n的展开式中所有系数之和等于729，那么这个展开式中x3项的系数是()A．56B．160C．80D．180[答案]B2．在(1＋x)n(n∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n等于()A．8B．9C．10D．11[答案]A[解析]由题意，展开式共有9项，∴n＝8.[答案]D4．在二项式(2x－3y)7的展开式中，第三项的系数是________；第三项的二项式系数是________．[答案]604821[解析]二项式系数与项的系数是两个不同的概念．典例探究学案二项式系数与二项展开式中项的系数的区别[方

4、法规律总结](1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)注意展开式中某一项，某一项的二项式系数，某一项的系数三者的区别．求展开式的各项系数之和[分析]①令x＝1可求a0＋a1＋a2＋…＋a7；②令x＝－1可求a0－a1＋a2－…－a7；③令x＝0可求a0.解答本题可利用赋值法，求出常见的几种项的系数和，再适当变形求解．[答案]D与杨辉三角有关的问题A．144B．146C．164D．461[答案]C[分析]由题目可获取以下主要信息：该数列从第3项开始每隔一项等于前两项的和，

5、解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为各二项展开式的二项式系数，然后利用组合数的性质求和．[方法规律总结]解决与杨辉三角有关问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系．然后将数据间的这种联系与组合数的性质结合用数学式子将它表达出来，使问题得解，注意观察方法：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看、从多角度观察．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第4与第5个数的比为45.第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051[答案]8求系数最大项

6、第二步，确定解题步骤．先依据条件列出关于n的方程，解方程求出n，再依据系数最大的要求列出关于r的不等式确定r的值，最后依据通项公式写出结果．第三步，规范解答．布置作业课堂作业：家庭作业：教学反思