《垂径定理》课件2

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1、5.3垂径定理知识回顾，引入新课让我们一起来回忆问题：同学们想一想：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？圆是中心对称图形吗？它的对称中心是什么？圆既是轴对称图形也是中心对称图形，它有无数多条对称轴，其对称轴是任意一条过圆心的直线，它的对称中心是圆的圆心.圆的轴对称性如图，AB是⊙O的一条弦，作直径，CD⊥AB，垂足为M.（1）右图是轴对称图形吗？若是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系吗？说一说你的理由.右图是轴对称图形，对称轴是CD.AM＝BM导入新课∵CD⊥AB，∴AM＝BM，∠AOC＝∠BOC，∴＝，∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOD＝180°－∠B

2、OC，∴∠AOD＝∠BOD∴＝.证明：连接OA，OB，则OA＝OB，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.几何语言叙述定理：∵CD为⊙O的直径，且CD⊥AB，∴AM＝BM，＝，＝.知识点一：垂径定理求证：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.已知，如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，CD交AB于点M，且AM=BM，求证：CD⊥AB，＝，＝.如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.（1）上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.上图是轴对称图形，对称轴是CD.AM＝

3、BM想一想：∵AM＝BM，∴CD⊥AB，∠AOC＝∠BOC，∴＝，∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOD＝180°－∠BOC，∴∠AOD＝∠BOD∴＝.证明：连接OA，OB，则OA＝OB，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.几何语言叙述定理：知识点二：垂径定理的逆定理∵AM＝BM，CD为⊙O的直径，∴CD⊥AB，＝，＝.你可以写出相应的命题吗?已知其中两个条件,就可推出其余三个结论？如图，在同圆中，如果具备下列条件：（1）CD是直径；（2）CD⊥AB；（3）AM＝BM；（4）＝；（5）＝，如图，一条公路的转弯处是一段弧（即图中，点O是所在圆的圆心）.其中CD＝60

4、0m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90m.求这段弯路的半径.例题讲解解：连接OC，设弯路的半径为Rm，则：OF＝（R－90）m，∵OE⊥CD，∴CF＝CD＝×600＝300（m），在Rt△OCF中，由勾股定理得：OC2＝CF2＋OF2，∴R2＝3002＋（R－90）2解得：R＝545，∴这段弯路的半径为545m.如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm.求圆心O到弦AB的距离.本例为垂径定理的应用。利用圆中常规辅助线“过圆心作弦的垂线”，与圆半径、弦，构成直角三角形，再利用解直角三角形的知识求解.随堂检测点拨：解：连接OA，过圆心O作OE⊥AB于E，则：AE＝EB＝AB

5、＝×6＝3（cm）∵OA＝5cm，∴在Rt△OEA中，有：OE＝＝＝4（cm），因而，圆心O到弦AB的距离为4cm.如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm.求圆心O到弦AB的距离.做一做1.已知，⊙O的半径为2cm，弦AB为2cm，求弦AB中点到它所对劣弧中点的距离.解：连接OA，过点O作OC⊥AB于点C，延长OC交圆周于点D.则:AC＝AB＝×2＝（cm）在Rt△AOC中，有：OA＝2cm，AC＝cm由勾股定理，得：OC2＋AC2＝OA2，∴OC＝＝＝1（cm），∴CD＝OD－OC＝OA－OC＝2－1＝1（cm）.即弦AB中点到它所对劣弧中点距离为1cm.2.已知：AB是⊙O的直

6、径，AC、AD是在AB两侧的两条弦，且AC＝AD.求证：AB平分∠CAD.解：过点O作OE⊥AC于EOF⊥AD于F.由垂径定理，可得：AE＝AC，AF＝AD∵AC＝AD，∴AE＝AF，在Rt△AOE和Rt△AOF中：OA＝OA，AE＝AF，∴Rt△AOE≌Rt△AOF，∴∠OAE＝∠OAF，即AB平分∠CAD.你能说说本节课学习了哪些内容吗？1.垂径定理：2.垂径定理的逆定理：小结垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.谢谢