《金融数学引论》（北大）课件讲义

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1、第一章1第一章利息基本计算所有金融活动的基础是投资收益和融资因此对不同投融资方式所带来的收益的定量刻画就构成了金融定量分析的主要内容表现和衡量收益的最直观最基本的概念是利息利息的原始定义很多主要源于从不同的角度看待利息从债权债务关系的角度看利息是借贷关系中债务人borrower为取得资金使用权而支付给债权人lender的报酬从借贷关系的角度看利息是一种补偿由借款人borrower支付给贷款人lender因为前者占用和使用了后者的一部分资金从投资的角度看利息是一定量的资本经过一段时间的投资后产生的价值增

2、值1.1利息基本函数在一般的金融活动中常见的模式是某一方投资一定量的货币原始投资本金于某个业务在没有新资本投入和抽取原始本金的假定下原始投资经过一段时间的运作将有所变化达到一个新的价值如何从根本上描述这种变化过程呢这里有两个基本要素原始投资和经过的时间因此这个变化过程应该表示为这两个要素的函数为此引入如下的定义定义1.1用A(t)表示原始投资A0经过时间tt>0事先给定时间度量单位后的价值则称A(t)为总量函数(amountfunction)定义1.2总量函数A(t)在时间[tt,]内的变化量一般为增

3、量称为利息记为Iinterest12tt12,则I=A(t)-At()(1.1.1)tt12,21而且利息总是在期末实现的特别地当t=ntt-1,1=+时记121I=A(n)A(n1)n1(1.1.2)n1.1.1累积函数accumulationfunction无论利息在理论上是如何定义的现实生活中实际投资的原始货币量千差万别但是价值变化过程是带有根本性的其规律往往与本金投入的大小没有直接的关系为了更好地揭示这种变化过程考虑如下的定义定义1.3称1个货币单位的原始本金在时刻tt>0的累积值为累积函数记

4、为a(t)以上的定义说明货币的时间价值可以用一个标准的累积函数来表示一般情况下a(t)函数具有以下的基本性质1a(0)=11第一章22a(t)为递增函数如果该函数出现下降的趋势则说明将产生负的利息这一点在数学上并没有什么问题但在大多数金融问题中它是没有意义的只有在投资本金不能收回的情形才会出现负的利息累积函数为常数表示无利息情形这种现象有时会发生为了表示货币价值的相对变化幅度度量利息的常用方法是计算所谓的利率interestrate它的准确定义为利率等于一定的货币量在一段时间计息期measuremen

5、tperiod内的变化量利息与期初货币量的比值同时这个变化量或称利息是在期末实现的简单地说利率是利息与期初本金的比值如果计息期为标准的时间单位如年月季或半年等常常简称为实利率EffectiveRateofInterest除特别说明外实利率一般指年利率定义1.4给定时间区间[tt,]内总量函数A(t)的变化量一般为增量与期初货币量的比值称12为利率记为i则tt12,A(t21)-At()Itt12,i==(1.1.3)tt12,A(t)At()11特别地当t=ntt-1,1=+时记121A(n)-A(n

6、-1)Ini==n11.1.4anA(n-1)A(n-1)或A(n)=A(n-1)[1+i](1.1.4b)ni表示第n个时段的实利率具有以下基本性质n1这里用实际这个词并不是很明确它是为了与后面的所谓名义利率相区别因为前者表示在一定的时间内的实际利息收入的相对量2实利率通常用百分数表示3实利率的定义要求在计息期内没有其他资本的投入也没有原始本金的撤出即计息期内本金保持不变4在这里利息是在计息期期满时支付的结论1.1由利率地定义有a(n)-a(n-1)i=na(n-1)证明假设初始投资为A0那么A(n

7、)=An0a()所以A(n)(-An-1)a(n)(--an1)i==nA(n--1)an(1)因此可以有实利率的另一种定义实利率为单位本金在某个计息期内产生的利息与期初资本量的2第一章3比值由结论1.1可以发现利息或利率的计算最根本的是累积函数的计算因此按照累积函数的不同形式有以下两种常见的利息计算方法例1.1考虑以下几类特殊的a(t)函数的特征见图1.11常数系列12二次系列23指数系列4线性系列4图1.1几类特殊累计函数的特征54321系列10系列21591317212529系列3时间系列41.

8、1.2单利和复利1.单利simpleinterest定义1.5简单利息simpleinterest或简称单利它表示这样一种累积计算方式一个货币单位的投资经过任何一个单位的计息期产生的利息为常数结论1.2在单利情形下有a(t)=1+it,t0为整数(1.1.5)一般称i为单利率证明由定义1.5知在单利情况下若一个货币单位的原始本金在第一个计息期末的价值为1+i则在第二个计息期末的价值为1+2i依此类推因此累积函数为时间的线性函数a(t)=1+it,t0为整