北大 光华 金融数学的讲义 第5讲

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1、第五讲鞅及其相关问题第一节条件期望一、条件概率,y（1）离散型X＝x,x,x…Y=y,y,y…P{Y=y︳X=x}=(2)连续型（x，y）x～f（x），y～f（y）（x，y）～f（x，y）f（y︱x）=f(x︱y)=二、条件期望（1）离散型E[Y︱X=x]=E[Y︱x]=yP{Y=y︱X=x}(2)连续型E[Y︱X=x]=E[Y︱x]=y·f(y︱x)dy三、条件期望的性质（1）当随机变量X与Y相互独立时，E[Y︱X]=E[Y](2)E[E(Y︱X)]=E[Y]证明：∵E[Y︱X]=y·dy∴E[E(Y︱X)]=[y·dy]f(x)dx=yf(x,y

2、)dxdy=yf(y)dy=E[Y](3)E[E(Y︱X…X)]=E[Y](4)E[g(X…X)Y︱X…X]=g(X…X)E[Y︱X…X](5)E[aY+bZ︱X]=aE[Y︱X]+bE[Z︱X](6)E[(Y︱X,X)︱X]=E[Y︱X](7)E[(Y︱X)︱XX]=E[Y︱X]第二节鞅的定义及性质一、离散鞅的定义若{X}为随机序列，n=0,1,2…①E︱X︱＜②E[X︱X…X]=XX,X,…X…Z,Z,…Z…Z=H(X,X,…X)E[X︱Z,Z,…Z]=X二、连续鞅的定义X(t)t[0,+]①E[X(t)]＜+②E[X(t+h)︱X(s),0≤s

3、≤t]=X(t)(h＞0)三、鞅的性质（1）若{X}为鞅序列，则m≥1n≥0有E[X︱X…X]=X①m=1时，显然成立②m＝k时，上式成立③当m＝k+1时，上式也成立∵E[X︱X…X]＝E[E（X︱X…X…X）︱X…X]＝E[X︱X…X]＝X（2）若{X}为鞅，则E（X）＝E（X），E（X）＝E（X）（3）{C}，C＝C。常数序列为鞅序列（4）鞅的增量的性质设{X}为鞅序列，令S=X﹣XS=X①E[S]=0②E[S︱S,S,…S]=0③Cov(S,S)=0④Var(X)=VAR(S)四、鞅举例（1）设随机序列{Y}（n＝0，1，2…）为独立随机序列Y

4、=0E[Y]=0E︱Y︱＜则X=Y（随机和）为鞅序列S=X+X+…+X①E︱X︱≤E︱Y︱＜②∵E[X︱X…X]=E[(X+Y)︱X…X]=E[X︱X…X]+E[Y︱X…X]=X+E[Y]=X{X}是鞅序列推论:{Y}Y=CE(Y)=C则X=(Y–C)是鞅序列(2)设{Y}为独立随机序列，Y＝1，E(Y)=1则X=Y（随即积）为鞅序列推论：为{Y}为独立随机序列，Y=C≠0E(Y)=C≠0则X=（Y/C）为鞅序列（3）Brown运动式鞅过程w(t)～N(0,t)①E[w(t+h)︱w(s)0≤s≤t]=w(t)=E[w(t+h)-w(t)+w(t)︱

5、w(s)0≤s≤t]=E[w(t+h)-w(t)︱w(s)0≤s≤t]+E[w(t)︱w(s)0≤s≤t]=E[w(t+h)-w(t)]+w(t)=w(t)推论（3）X（t）独立增量正态分布过程，X(t)～N(t,t)则X（t）-t,=Y(t)为鞅过程第三节等价鞅测度一、风险中性概率测度（1）风险中性：对冒险持无所谓的态度特点：对风险资产的预期收益率＝无风险利率的收益率（2）风险中性概率测度风险中性概率测度能使风险资产的预期收益率等于无风险利率收益率的那种概率测度。风险资产S↗Su=Sp↘Sd=S1-pE[S]=Se记E[S]=Sup+Sd(1-p)

6、e=pp=1-p=d