金融数学引论答案 (1)

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1、版权所有，翻版必究第一章习题答案1.设总量函数为A(t)=t2+2t+3。试计算累积函数a(t)和第n个时段的利息In。解:把t=0代入得A(0)=3于是:A(t)t2+2t+3a(t)==A(0)3In=A(n)−A(n−1)22=(n+2n+3)−((n−1)+2(n−1)+3))=2n+12.对以下两种情况计算从t时刻到n(t

2、3.已知累积函数的形式为:a(t)=at2+b。若0时刻投入的100元累积到3时刻为172元，试计算：5时刻投入的100元在10时刻的终值。北京大学数学科学学院金融数学系第1页版权所有，翻版必究解:由题意得A(3)a(0)=1,a(3)==1.72A(0)⇒a=0.08,b=1∴A(5)=100a(10)A(10)=A(0)·a(10)=A(5)·=100×3=300.a(5)4.分别对以下两种总量函数计算i5和i10:(1)A(t)=100+5t;(2)A(t)=100(1+0.1)t.解：(1)A(5)−A(4)i5=A(4)5=≈4.17%120A(10)−A(9)i10=A(9)5

3、=≈3.45%145(2)A(5)−A(4)i5=A(4)100(1+0.1)5−100(1+0.1)4=100(1+0.1)4=10%A(10)−A(9)i10=A(9)100(1+0.1)10−100(1+0.1)9=100(1+0.1)9=10%北京大学数学科学学院金融数学系第2页版权所有，翻版必究5.设A(4)=1000,in=0.01n.试计算A(7)。解:A(7)=A(4)(1+i5)(1+i6)(1+i7)=1000×1.05×1.06×1.07=1190.916.试计算500元经过两年半的累积达到615元的对应年单利率？另外，500元以单利率7.8%累积多少时间可以达到63

4、0元？解:设年单利率为i500(1+2.5i)=615解得i=9.2%设500元需要累积t年500(1+t×7.8%)=630解得t=3年4个月7.已知单利率为4%，问：经过多少时间它对应的实利率可以达到2.5%？解:设经过t年后，年利率达到2.5%t1+4%×t=(1+2.5%)t≈36.3678.已知：(1+i)5=X,(1+i)2=Y.求(1+i)11.解:115+2£33(1+i)=(1+i)=XY9.已知600元投资两年将产生利息264元（复利方式），问：2000元以同样的实利率投资3年的终值。北京大学数学科学学院金融数学系第3页版权所有，翻版必究解:设实利率为i2600[(1+

5、i)−1]=264解得i=20%3∴A(3)=2000(1+i)=3456元10.已知：第n年底的一个货币单位与第2年底的一个货币单位的现值之和为一个货币单位。计算(1+i)2n.解:设实利率为i11+=1(1+i)n(1+i)2n√¡n5−1解得(1+i)=2√2n5−1¡2所以(1+i)=()2√3+5=211.已知：500元经过30年的投资将增为4000元，计算：分别在第20、40和60年底投资10,000元的现值之和。解:3030由500×(1+i)=4000⇒(1+i)=8100001000010000于是PV=++(1+i)20(1+i)40(1+i)60¡2¡4¡2=1000

6、×(83+83+8)=3281.2512.以同样的实利率，1元经过a年增为2元，2元经过b年增为3元，3元经过c年增为15元。若已知6元经过n年增为10元。试用a,b和c表示n。北京大学数学科学学院金融数学系第4页版权所有，翻版必究解:a(1+i)=2(1)b3(1+i)=(2)2c(1+i)=5(3)n5(1+i)=(4)3(4)⇒n·ln(1+i)=ln5−ln3(3)⇒ln5=c×ln(1+i)(1)×(2)⇒ln3=(a+b)·ln(1+i)故n=c−(a+b)13.已知资本A在一年内产生的利息量为336，产生的贴现量为300。计算A。解:A·i=336A·d=300⇒A=

7、2800i−d=i·d14.分别在单利率10%和单贴现率10%的条件下，计算d5。解:(1)a(5)−a(4)d5=a(5)10%=1+5×10%=6.67%北京大学数学科学学院金融数学系第5页版权所有，翻版必究(2)¡1a(t)=1−0.1t1⇒a(t)=1−0.1ta(5)−a(4)⇒d5=a(5)1−1=0.50.610.5=16.67%15.试用i(3)表示d(4)，用d(12)表示i(6)。解:i(3)d