实意义下分组有界变差条件对柯西并项准则的推广

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1、浙江理工大学学报!自然科学版"#第!"卷#第#期##$%&年!月'()*+,-(./0123,+4563781609+3:1*;3<=!>,<)*,-5631+61;"?(-@!"#>(@##A,*@#$%&BCD$%$@!E&E%2@3;;+@%&F!7!G"%@#$%&@$!@$#"实意义下分组有界变差条件对柯西并项准则的推广陈晓丹!周颂平!浙江理工大学理学院#杭州!%$$%G"!!摘!要"对数项级数及积分的柯西收敛准则的单调性和非负性进行推广&主要针对分组有界变差!cL?"条件的非负性作进一步研究#利用cL?性质及巧妙的分割方法给出最终适用条件的数列的柯西并项准则(同时

2、#将系数数列的cL?条件推广到函数的cL?条件#最终给出分组有界变差函数cL?W的柯西并项准则&关键词"数列(积分(分组有界变差(柯西并项准则中图分类号"C%F!@%!文献标志码"R!文章编号"%&F!7!G"%"#$%&#$#7$!$E7$I!引用页码"$!$G$%#!#!'!引!言:N):PN!K:N:PL:PQ%N7FN:!N"%#PK!PK!柯西收敛准则可以表述为!若/:!0是一个非负成立%F是仅依赖于数列$的正常数%则称数列tt/:!0!tK%为分组有界变差的%记$5)V".%不失一P递减数列%则级数::!和:#:#P有相同的敛散般性%可以假定F"%'!K%PK%性

3、%它是正项级数中若干经典准则之一'学者们主要(I)定义"!对于任意7&$%函数Y"J#在有限对于该定理中数列的单调性及非负性作推广工作'区间($%7)上为一有界变差函数%若对充分大的%EIG年%5U4;U(%)将柯西收敛准则中的非负递减数列#FF%有NTYN78"Y#NY"F#N%则记Y"J#5推广到拟单调数列"hA5#%并将数列中的拟单调条

4、得结论的条F#等表示正常数%在不同的地方可能代表不同件推广至分组有界变差"cL?#条件%同时给出更广范的值'(!)围的均值有界变差"A?L?#条件下定理不成立的%!定理及证明(I)反例%这就说明cL?是该定理的最终适用范围'基于前人的研究成果%本文取消了cL?的非负引理!!若$!K/:!0!tK%5)V".%则有不等性并采用巧妙的分割方法%将实意义下的分组有界式!#!变差数列之和转化为熟知的非负条件下的分组有界IF#:N):PN7!:N:PN]变差数列之和%得到实意义cL?条件下的数列及积PK!!+#7P7!分的柯西并项准则'证明"对任意!+#7P7!%由式"%#可知!!L%

5、#P(!定!义N:!N7:N):ONQN:PN7:N):ONQN:PNOKPOKP定义!(")t对所有!!如果实数列$!K/:!0!K%7"FQ%#N:PN%"%%有!其中F是式"%#中的正常数'对P进行从!+#到!的收稿日期!#$%"H$&H#E作者简介!陈晓丹"%EGEH#%女%江苏泰州人%硕士研究生%主要从事逼近论的构造性分析方面的研究'!%$!!!!!!!!!!!!!!浙!江!理!工!大!学!学!报#$%&年!第!"卷累加%可以得到!由引理%与"##%对任意固定的P%易知!#"FQ%#%%N:!N7!:N:PN]#:N:/O%PN7#:N:/O%PN!+#7P7!="

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7、%则自然数列/!P0的!K#P+#通过移项%并且因N.PQ%+"%#GF##及.=子列只有有限多个元素%这是平凡的情形%已经有结ON7#O%PO论成立(I)'不失一般性%可以假定/!0是无限自然数"##%可以得到以下不等式!P&P子列'由以上的定义%易知数列/:!0在每个集合%I:N:/O%PN7:N:/O%PN="##="##.P!K/!P%!PQ%%1%!PQ%L%0"##.O%PO&P.O%PO&P中的符号是一致的'%#=+#PQ%!!"#LIFN.O%PN#%记F$K#"!#P%#GF###L%