《数学概率论》PPT课件

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1、第三章多维随机变量及其分布第一节二维随机变量第二节边缘分布第三节条件分布第四节相互独立的随机变量第五节两个随机变量的函数的分布二维随机变量：设E是一个随机变量,样本空间S={e},设X={e}和Y={e}是定义在S上的随机变量,向量(X,Y)叫做二维随机变量.§1二维随机变量X(e)SeY(e)[注]:二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X和Y有关,且还依赖于两者的相互关系.设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y,称F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X和

2、Y的联合分布函数。xyO(x,y)xOx1y2x2y1y分布函数(联合分布函数)1)F(x,y)是变量x和y的不减函数,即对任意固定的y,当x2>x1时,有F(x2,y)F(x1,y);对任意固定的x,当y2>y1时,有F(x,y2)F(x,y1).2)0F(x,y)1,且F(-,y)=0,F(x,-)=0,F(-,-)=0,F(+,+)=1.3)F(x,y)关于x右连续,关于y右连续,4)对于任意x1

3、F(x1,y2)0分布函数F(x,y)的性质:二维离散(X,Y)的分布律(联合分布律):(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),i,j=1,2…,YX二维离散型随机变量:(X,Y)的所有可能取值是可列队或可列无限多队.满足分布函数12341234YX25/4813/487/481/161/41/41/41/41例1设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值,另一随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值.试求(X,Y)的分布律.1/40001/81/8001/121/121/1201/161

4、/161/161/16返回解:X=i,i=1,2,3,4,Y=j,ji.例２某产品８件,其中有２件次品.每次从中抽取一件,不放回，抽取两次,分别以X、Y表示第一、二次取到的次品件数,试求(X,Y)的分布律．(X,Y)的所有取值为(i,j),i,j=0,1由乘法公式有解XY0101二维连续型随机变量定义4设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y),若存在一个非负函数f(x,y)，使得对任意x,y，有则称(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)称为(X,Y)的概率密度，或称为X和Y

5、的联合概率密度．性质例3设二维随机变量(X,Y)的概率密度为(1)确定常数C;(2)求概率P{X+Y1};(3)求F(x,y)．1解(1)Dx+y=1x+y1Oxy当x>y,0y<1时，1(3)当x<0或y<0时,F(x,y)=0当xy<1,0x<1时，v=u10uv(x,y)(x,y)(x,y)(x,y)(x,y)当y1,0x<1时，当x1,y1时，(x,y)当x>y,0y<1时，(3)0,当x<0或y<0时,当xy<1,0x<1时，当y1,0x<1时，1,当x

6、1,y1时，F(x,y)=例4设二维随机变量具有概率密度　　　　　　　求(１)分布函数F(x,y)；（２）P{XY}解(x,y)xyO设E是一随机试验，S是其样本空间，X1,X2,...Xn是定义S在上的n个随机变量，则称n维向量(X1,X2,...Xn)为定义在S上的n维随机向量或n维随机变量．对个任意实数x1,x2,…xn，令称为n维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数．类似可以定义离散型及连续型n维随机变量的分布律及概率密度，它们都具有类似于二维时的性质．概念

7、的推广：定义1设(X,Y)为二维随机变量，其分布函为F(x,y)§2边缘分布一、边缘分布函数(X,Y)关于X的边缘分布函数(X,Y)关于Y的边缘分布函数[注]边缘分布函数可以由X与Y的联合分布函F(x,y)唯一确定:若(X,Y)分布律为二、离散型随机变量的边缘分布律(X,Y)关于X的边缘分布律(X,Y)关于Y的边缘分布律1XY例1离散型随机变量的边缘分布律列表三、连续型随机变量的边缘概率密度设(X,Y)概率密度为f(x,y)，则由此知，X是连续型随机变量，且其概率密度为同理，Y也是连续型随机变量，

8、其概率密度为分别称为(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率密度．均匀分布：设G为一面积为A平面有界区域，若(X,Y)具有概率密度则称(X,Y)在域G上服从均匀分布．二维常见分布例2设(X,Y)在域G:x2+y2r2,y0上服从均匀分布，求其边缘概率密度.例2设(X,Y)在域G:x2+y2r2,y0上服从均匀分布，求其边缘概率密度．x解oxy-rrrxoy-rrrox-rr二维正态分布设二维随机变量(X,Y)具有概率密度其中是常数，且，则称(X,Y)服从参数为的，记为二维正态分布