《数学建模概率论》PPT课件

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1、第六章参数估计§6.1点估计的几种方法§6.2点估计的评价标准§6.3最小方差无偏估计§6.4贝叶斯估计§6.5区间估计一般常用表示参数，参数所有可能取值组成的集合称为参数空间，常用表示。参数估计问题就是根据样本对上述各种未知参数作出估计。参数估计的形式有两种：点估计与区间估计。设x1,x2,…,xn是来自总体X的一个样本，我们用一个统计量的取值作为的估计值，称为的点估计（量），简称估计。在这里如何构造统计量并没有明确的规定，只要它满足一定的合理性即可。这就涉及到两个问题：其一是如何给出估计，即估计的方法问题；其二是如何对不同的估计进行评价，即估计的

2、好坏判断标准。§6.1点估计的几种方法6.1.1替换原理和矩法估计一、矩法估计替换原理是指用样本矩及其函数去替换相应的总体矩及其函数，譬如：用样本均值估计总体均值E(X)，即；用样本方差估计总体方差Var(X)，即用样本的p分位数估计总体的p分位数，用样本中位数估计总体中位数。例6.1.1对某型号的20辆汽车记录其每加仑汽油的行驶里程(km)，观测数据如下：29.827.628.327.930.128.729.928.027.928.728.427.229.528.528.030.029.129.829.626.9经计算有由此给出总体均值、方差和中位数的估计分

3、别为:28.695,0.9185和28.6。矩法估计的实质是用经验分布函数去替换总体分布，其理论基础是格里纹科定理。二、概率函数P(x,θ)已知时未知参数的矩法估计设总体具有已知的概率函数P(x,1,…,k)，x1,x2,…,xn是样本，假定总体的k阶原点矩k存在，若1,…,k能够表示成1,…,k的函数j=j(1,…,k)，则可给出诸j的矩法估计为其中例6.1.2设总体服从指数分布，由于EX=1/，即=1/EX，故的矩法估计为另外，由于Var(X)=1/2，其反函数为因此，从替换原理来看，的矩法估计也可取为s为样本标准差。这说

4、明矩估计可能是不唯一的，这是矩法估计的一个缺点，此时通常应该尽量采用低阶矩给出未知参数的估计。例6.1.3x1,x2,…,xn是来自(a,b)上的均匀分布U(a,b)的样本，a与b均是未知参数，这里k=2，由于不难推出由此即可得到a,b的矩估计：6.1.2极(最)大似然估计定义6.1.1设总体的概率函数为P(x;)，是参数可能取值的参数空间，x1,x2,…,xn是样本，将样本的联合概率函数看成的函数，用L(;x1,x2,…,xn)表示，简记为L()，称为样本的似然函数。如果某统计量满足则称是的极(最)大似然估计，简记为MLE（MaximumLik

5、elihoodEstimate）。人们通常更习惯于由对数似然函数lnL()出发寻找的极大似然估计。当L()是可微函数时，求导是求极大似然估计最常用的方法，对lnL()求导更加简单些。例6.1.6设一个试验有三种可能结果，其发生概率分别为现做了n次试验，观测到三种结果发生的次数分别为n1,n2,n3(n1+n2+n3=n)，则似然函数为其对数似然函数为将之关于求导，并令其为0得到似然方程解之，得由于所以是极大值点。极大似然估计有一个简单而有用的性质：如果是的极大似然估计，则对任一函数g()，其极大似然估计为。该性质称为极大似然估计的不变性，从而使一

6、些复杂结构的参数的极大似然估计的获得变得容易了。§6.5区间估计6.5.1区间估计的概念定义6.5.1设是总体的一个参数，其参数空间为Θ，x1,x2,…,xn是来自该总体的样本，对给定的一个(0<<1)，若有两个统计量和，若对任意的∈Θ，有（6.5.1）则称随机区间[]为的置信水平为1-的置信区间，或简称[]是的1-置信区间.和分别称为的（双侧）置信下限和置信上限.这里置信水平1-的含义是指在大量使用该置信区间时，至少有100(1-)%的区间含有。例6.5.1设x1,x2,…,x10是来自N(,2)的样本，则的置信水平为1-的置

7、信区间为其中，,s分别为样本均值和样本标准差。这个置信区间的由来将在6.5.3节中说明，这里用它来说明置信区间的含义。若取=0.10，则t0..95(9)=1.8331，上式化为现假定=15,2=4，则我们可以用随机模拟方法由N(15,4)产生一个容量为10的样本，如下即是这样一个样本：14.8513.0113.5014.9316.9713.8017.953313.3716.2912.38由该样本可以算得从而得到的一个区间估计为该区间包含的真值--15。现重复这样的方法100次，可以得到100个样本，也就得到100个区间，我们将这100个区间画在图6

8、.5.1上。由图6.5.1可以看出，这