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1、第15卷第2期工科数学Vol.15,No.21999年4月JOURNALOFMATHEMATICSFORTECHNOLOGYApr.1999关于超曲面的切面公式及其应用许甫华(清华大学数学科学系,北京100084)摘要本文给出任意n维超曲面上任意一点的超切面方程的简洁的统一求法,将曲面方程微分即得切面方程.此法侧重对微分本质的理解,不需死记任何公式,计算简便.本文还讨论了此方法的理论意义,分别列举了到各种类型曲面的应用.关键词超曲面微分超切面切线1引言在数学的理论研究和实际应用中,经常需要求出各种类型曲面的切面和法线(这里曲面和切面均是指n维的超曲面和超切面,n为任意正整数).但在以往的
2、书中给出的计算公式往往很繁杂,人们经常难以记住那些公式,用时常需查阅书籍或者临时推导.在历年研究生入学考试阅卷等活动中也看到,许多人因为机械地去记那些不同形式的公式而出现失误,非常可惜.陈省身教授在《微分几何的过去与未来》一文中写道:“微分几何的出发点是微积分:一条曲线的切线和微分是同一个概念.”本文从这一数学思想出发,给出解决这类问题的一个简洁方法:微分即得切面.明确些说,设给定的(超)曲面的方程为F(x1,x2,⋯,xn,xn+1)=0,那么其微分式dF=0,也就是Fx1dx1+Fx2dx2+⋯+Fxndxn+Fxn+1dxn+1=0,即是此曲面的切面方程(在一定的理解下).例1求螺
3、旋线x=acos,y=asin,z=b在其上任意一点P(x,y,z)处的切线方程.解对曲线方程求微分得dx=-asind,dy=acosd,dz=bd.我们说上式就是曲线在点P(x,y,z)的切线T的方程——以P(x,y,z)为新坐标系原点,以(dx,dy,dz)为切线T上动点的新坐标,d为参变数的直线方程——消去参变数,得dxdydz==.-asinacosb这是切线T的点向式方程,以(x,y,z)为坐标原点,dx,dy,dz为切线上的动点新坐标.记X,Y,Z为切线上动点坐标,则有坐标变换式:dx=X-x,dy=Y-y,dz=Z-z,于是得切线T的点向式方程:X-
4、xY-yZ-z==.-asinacosb收稿日期:1998-05-0834工科数学第15卷222例2求球面x+y+z=1在其上任意点P(x0,y0,z0)处的切面方程.解对曲面方程微分得2x0dx+2y0dy+2z0dz=0,此即球面在点(x0,y0,z0)的切面方程——在以(x0,y0,z0)为原点的新坐标系中dx,dy,dz为切面方程的变量.将坐标变换式dx=X-x0,dy=Y-y0,dz=Z-z0代入,有2x0(X-x0)+2y0(Y-y0)+2z0(Z-z0)=0.稍加整理得球面在点P(x0,y0,z0)的切面方程:x0X+y0Y+z0Z=1,其中X,Y,Z为切面T上的动点坐
5、标.我们看到,只要理解了微分与切线的这一关系,只要使用求切面的这一方法,在求各种曲面的切面时,几乎不须经过什么运算,也不要记忆任何公式,甚为简便.我们将在下一节讨论这一方法的理论背景,并在第三节具体讨论本方法对各类曲面的应用.2方法的理论背景nn设x=(x1,x2,⋯,xn)∈R,f(x)是R上的一个实值函数,这里R表示实数域,那么一般说来S:y=f(x)(1)n+1定义了R中的一个(超)曲面S(当n=2时S为普通曲面,n=1时S为曲线).任意取定一点ttt(x,y)∈S,以Sx表示S在(x,y)处的(超)切平面(当n=2时Sx为普通切面,n=1时Sx为切线).假定f(x)在x附近可微,
6、对(1)式两边求(全)微分则得dy=fx·dx=fx1dx1+fx2dx2+⋯+fxndxn(2)f其中fx=(i=1,2,⋯,n),fx=(fx,⋯,fx),dx=(dx1,⋯,dxn)(有时也记fx=fx′,fx=ix1niifx′).i通常对微分式(2)有各种不同的理解,现在我们把dx1,⋯,dxn,dy看作新的变量(以(x1,⋯,xn,y)为新坐标系原点),而把(2)式理解为dx1,⋯,dxn,dy之间的一个关系式.这一关系有两个特点(参见[2]或[3]):(i)dx1,⋯,dxn,dy满足的是一个齐次线性关系.(ii)当dx1,⋯,dxn取值很小时,dy近似于y(=(f(
7、x+dx)-y).性质(i)说明(2)式是一个过(x,y)点的超平面,性质(ii)说明此平面与曲面(1)相切.这也就是说,(2)式实质上就是曲面(1)的切面方程(以(x1,⋯,xn,y)为坐标原点,以dx1,⋯,dxn,dy为变量).若要得到在原来坐标系中的切面方程,只要在(2)中作代换dx=X-x,dy=Y-y(3)而得Y-y=fx·(X-x),第2期许甫华:关于超曲面的切面公式及其应用35或即Y-y=fx(X1-x1)+⋯+fx
