关于泰勒公式的概念及其应用

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1、关于泰勒公式的概念及其应用一、泰勒公式的概念到现今为止，人类只能用近似的方法计算指数函数、对数函数、三角函数、及反三角函数在定点的函数值，但可以准确计算整数幂的函数值，例如要计算就用近似计算法，而计算，因此。人们想到了用多项式函数近似其它函数的方法，而多项式函数是一些幂函数的代数和。设在区间有阶导数，，我们打算用构造一个关于的多项式：近似，使得与在点有相同的函数值及其各阶导数值，而误差是，即.(1)如果确定了近似的多项式的所有的系数，就相当于明确了近似的多项式的表达式。近似多项式的系数一定与有联系，以下我们探讨近似多项式的系数多，（）到底等于什么。，

2、令，得，，　　令，　得，　　令，　　得．．．．．．．．．．．．　　　　　　　　　　　　　　　　　　．．．．．．．．．．　　　　　　令，　　得所以　，即：．．．．．（２）拉格朗日利用罗必大法则证明了误差是　，在与之间．皮亚洛证明了，在　在内有界的条件下，．（２）式叫在内按照的幂展开的泰勒公式，简称为在点的泰勒公式．说明（1）如果在区间有阶导数，则近似的多项式可以是1次到次的任意次，但最少不能低于1次，最多不能超过次。多项式的次方越高，则该多项式与越近似，误差就越小，因此是“调节器”。（2）在公式（２）中，可以是内任意点。如果是异于的另外一点，则在点的泰

3、勒公式与在点的泰勒公式表示形式一样，即：。只是“调节器”中的在的位置发生了变化，这时的应该在与之间，而不在与之间。　　例如，已知在区间内有三阶导数，且，，写出在点泰勒公式，并近似计算：及。解，在与之间。即，在与之间。，在与之间。。在与之间。。如果在含有的区间内有阶导数，则：，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（３）其中，在与之间．公式（３）叫的马克劳林公式．例如已知在有三阶导数，，、写出的马克劳林公式，并证明，如果，证明，在存在两点，使得。，在与之间．即，在与之间．，在与之间．，在与之间．，，，所以。皮亚诺型余项的马克劳林公式：．特别要记住以下几

4、个函数的皮亚诺型余项的马克劳林公式：（1）．（2）．（3）．（4）．（5）．二、泰勒公式在考研中的应用当题目涉及函数的二阶以上的导数，给出了同一点的函数值、一阶至二阶导数值时，可用点的泰勒公式证明有关的关系式．在证明抽象函数满足的关系式时要利用拉格朗日型的泰勒公式或马克劳林公式.例如已知在有连续的二阶导数，，是的极值点，证明如果在有界，则在也有界．证明，在与之间．因是的极值点，所以，因此，如果在有界，即，则，即在也有界．例如设函数在闭区间上具有三阶连续导数，且证明：在开区间内存在，使（99-2）解由题设，具有三阶连续导数，且则由麦克劳林公式得，其中介

5、于与之间，且在上式中分别令和，并由已知条件得两式相减，得由已知连续，则在闭区间上有最大值和最小值，设它们分别为和，则有则由连续函数的介值定理知，至少存在一点使．例如设在区间上有二阶连续的导数，，（1）写出的带拉格朗日余项的一阶马克劳林公式（2）证明在上至少存在一点，使解（1）将在点用马克劳林公式展开，在0与之间．将代入上式得（2）在两边积分，，由于奇函数在对称区间上的积分等于零，即，所以，，设在上的最小值是和最大值是，则，因此，，，，由连续函数在区间上的介值定理知，存在，使得，即．在求极限时要用皮亚诺型余项的马克劳林公式．例如用马克劳林公式求极限．解

6、因，所以．例如用马克劳林公式求极限．解因，所以．例如设，可求任意阶导数，且则．解由已知条件可得，再，两边求导数得，由此得，上式两边继续求导，同样可得，将展为马克劳林公式，即，．