关于泰勒公式及其应用的思考与讨论.doc

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1、关于泰勒公式及其应用的思考与讨论【摘要】在高等数学教学中，泰勒公式是重要的内容，在对一些数学问题的分析和研究中，泰勒公式的应用非常广泛，本文主耍针对泰勒公式在方程根的唯一性和存在性、近似计算、求极限及不等式问题屮的应用技巧和方法进行思考和讨论。【关键词】泰勒公式应用讨论【中图分类号】G642【文献标识码】A【文章编号】1674-4810(2014)33-0063-01一泰勒公式的定理及用泰勒公式展开函数的方法定理1,假设函数y二f(x)在x0点的临近区域内n+1阶可微，那么在该临近区域内：O其中，，E为x0和x间的某一个值。如果x0二0,则0

2、阶可微，那么在x0近旁则有:如果xO二0,则应用上述原理，可在xO二0近旁展开一些常用函数，利用这些常用函数可以间接泰勒展开一些复合函数。例1,求函数y=lncosx在x=0附近带有佩亚诺型余项的泰勒展开式，到x4项。解：利用和复合两式，得：O二泰勒公式在极限函数中的应用极限问题屮，针对待定型极限问题，通常采用洛必达法则解决，但是对于一些相对烦琐的求导极限问题，尤其需要多次使用洛必达法则时，问题就变得非常复杂。此时，应用泰勒公式对这一问题进行解决就相对比较简单了。例2,o分析：该函数可利用洛必达法则求极限，但是需要通过六次应用洛必达法则才能完成，并且一次比一次的导数复杂，那么应用泰勒公式计

3、算就比较简单了，当然是在x=0处展开，选择佩亚诺型余项。而对于展开的阶数最终是多少不进行考虑，通常考虑逐阶展开，展开一项，消去一项，直到不能消去。首先，展开分子上的函数，写出与sinx的泰勒展开式，的第一项为1,sinx的第一项为x,则就可以写成6x,和后面的6x正好可以消去，然后再展开下一项，得到的前两项为6x-7x3,所以，还要将其再展开一项，同理，分母也按此方法进行。