资源描述：
《关于泰勒公式及其应用的探究---》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、关于泰勒公式及其应用的探究姓名：***学号：20074051****指导教师：***摘要:本文对泰勒公式及其在高等数学上的几个重要应用与技巧进行了探究，比如在求极限、近似计算、等式和不等式的证明、求某点处函数的高阶导数的应用、研究函数性质以及求行列式值等上的应用.其中每一应用都给出了相应的实例，这样有助于我们加深对每一应用的理解与掌握，进而能够很好地把泰勒公式这一多功能数学工具应用到解题过程中.关键词:泰勒定理麦克劳林公式应用StudyontheTaylorformulaanditsapplicationAbstract:Thispapermakeresearchesi
2、nTaylorformulaandseveralimportantapplicationsandskillsinhighermathematics,suchascalculationoflimit,approximatecalculation,proofofequationandinequality,solutionsoffunctionofhigher-orderderivative,studyofpropertiesoffunction,thevalueofdeterminantapplication,etc.Eachoftheseapplicationsaregi
3、venthecorrespondinginstance,andthishelpsustodeepentheunderstandingofeachapplication,thenwecanputthemulti-functionmathematicaltoolsofTaylorformulaintoapplicationofproblem-solvingprocess.KeyWords:Taylor’stheorem;Maclaurin`sformula;application.1.引言我们知道只能使用加、减、乘三种运算的多项式是初等函数里最简单的函数,可想而之知假如能用
4、多项式函数初近似代替初等超越函数、无理函数以及有理分式函数，并且又在误差允许范围内的情况下，那么这将对函数值的近似计算以及函数性态的研究都有着很是重要的意义.由此想到一个函数在满足什么样条件下才能使用多项式函数来近似代替呢？所求函数与替代它的多项式函数的各项系数的关系如何呢？两者之间的误差又将怎么样呢？学习了数学分析，我们了解到泰勒公式恰好是利用了一种叫“无限逼近”思想近似地把某些繁杂的函数表示成了简单的多项式函数,掌握了这种化繁为简的思想对于我们分析和研究其他数学问题就像搬运重物时使用的一个有力杠杆.132.研究内容2.1预备知识2.1.1泰勒公式（1）带有佩亚诺（P
5、eano）型余项的泰勒公式对于一个函数若能满足以下两个条件：①在点的某领域有直到阶的连续函数导数；②存在.则可以表示为：（2）带有拉格朗日（Lagrange）型余项的泰勒公式我们知道对于带有佩亚诺型余项的泰勒公式,需要引起注意的有两点：其一，适用范围很小，它只适用于那些“自变量必须充分接近于点”的函数，即带有佩亚诺型余项的泰勒公式只“在小范围内”刻画了函数；由此我们更想“在大范围内”也能那样做；其二，得到的误差也应该有清晰、明确的表达式，那样才便于我们求解.从这以上两个方面做进一步的研究，我们很容易得到一下的结果：①函数在闭区间上有直到阶的连续函数；②函数在开区间内有阶
6、导数.则对于,至少存在一点，使得泰勒定理又称泰勒中值定理，上式即称作在点处泰勒公式，13称为在点处的泰勒多项式，称为在点处泰勒公式的余项，另外若在时，泰勒定理即为拉格朗日中值定理.泰勒公式在时又变为上式称作(带有拉格朗日型余项的)麦克劳林公式.2.1.2常见简单函数的泰勒展开式及其应用2.1.2.1常见简单函数的泰勒展开式（1）（2）（3）（4）（5）（6）132.1.2.2简单应用例1求下列函数的阶展开(1)（2）解:（1)因为，所以（2)由于又，所以求函数的展开式关键是求出高阶导数并写出余项，可以用前面求高阶导数的知识、方法和技巧来完成.这种间接法展开则是一种常用方
7、法，结合给出的展开式、四则运算以及导数运算就可解决，这样就简化了计算过程.132.2泰勒公式常见的一些应用2.2.1在求极限上的应用很多时候我们需要对极限进行化简运算,而这时如果我们试着用泰勒展开式来代替原来的难以化简的单项式,使其转变为类似多项式的有理式极限,或许就能起到事半功倍的效果。比如下面的例子：例2.求极限.分析：上式是型的极限,可用我们学习过得洛必达法则这种常用求解极限的方法来求解此题，但显然过程复杂不易求解,若将、两者分别运用泰勒公式展开,则就能化简此比式型极限.解：由，用代替2.1.2.1节公式（1）中的，便得则得极限在利
