CH3现代控制理论讲稿

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1、第三章能控性与能观性（侯媛彬）要点：1线性连续系统的能控性与能观性2离散系统的能控性与能观性3能控性与能观性的对偶关系4线性定常系统的结构分解5输出能控性难点：1线性多输入系统的能控性与能观性2线性定常系统的结构分解3-1线性连续系统的能控性与能观性1能控性的定义：设系统的状态空间表达式为(3-1)如果在有限时间区间内存在容许控制向量u(t),能使此系统从初始状态转移到x(ta)=0，则称状态x(t0)在[t0,ta19]上是能控的，或称x(t0)在时刻t0上是能控的；若以系统的状态空间的所有元素作为初始状态，且均能满足上述条件，则称系统在[t0,ta]上是状态完全能控的。定义3-1，对于线

2、性连续定常系统=Ax+BuY=Cx,若存在一个分段连续的输入函数U（t），在有限的时间（t1-t0）内，能把任一给定的初态x（t0）转移至预期的终端x（t1），则称此状态是能控的。若系统所有的状态都是能控的，则称该系统是状态完全能控的。2．能控性的基本性质（1）状态方程的解可以表示为若状态向量x（t0）是能控的，则存在容许控制U（t），使因此=-（3-2）式（3-2）是能控性很有用的公式。但对于线性定常系统式（3-2）可写成（2）根据定义，如果系统在[t0,ta19]区间上完全能控，那么对于Tb>Ta,一定有系统在[t0,ta]区间上完全能控。2能控性判别的一般方法定理3-1n阶线性定常系统

3、=Ax+Bu完全能控的充分必要条件是能控矩阵QC=[BABA2B…An-1B]的秩为n。即RankQC=Rank[BABA2B…An-1B]=n(3-3)3能控性的直接判别若系统表现为对角形与约当标准形，则可按定理判断其能控性。定理3-2若线性定常系统=Ax+Bu的A为对角形，且对角线上的元素均不相同，则状态完全能控的充要条件是B阵无全为零的行。定理3-3若线性定常系统=Ax+Bu的A为约当标准形，且每个约当块所对应的特征值均不相同，则状态完全能控的充要条件是B阵中与每个约当块最后一行所对应的各行，没有一行元素全为零。*1当A阵为特征值相同的对角阵时，定理3-2不成立。对于这样的系统应采用一

4、般方法判断其能控性。*2当A阵为约当标准形19阵时，但当两个约当块特征值相同时，定理3-3不成立。4.时变系统的能控性判据定理3-4线性连续时变系统(3-4)在时间区间[t0,ta]内状态完全能控的充要条件是能控性矩阵为非奇异。5．状态空间模型的能控标准形变换定理3-5设单输入系统S=（A，B，C）是完全能控的，则一定存在一个非奇异变换使等价系统是能控标准形，且变换矩阵为,第二节线性连续系统的能观性一、能观性的定义和性质1．能观性定义19设所研究的系统仍为(3-5)定义3-2（1）系统S=(A(t),B(t),C(t)),如果对t0时刻在t0

5、定系统在t0时刻的初始状态x0，则称x0为系统S在t0时刻的能观测状态，或称x0为系统在[t0，ta]区间上的能观测状态。（2）系统S=(A(t),B(t),C(t))如果对t0时刻存在ta，t0

6、边再进行一次积分，且取积分限为[t0，ta]，则有T0)CCT)0)x0T0)CT)T0)CT)C(3-22)从(3-22)可见，方程的右边为y(t)与u(t)及有关的确定的向量，以一个确定的向量来表示。T0)CT)T0)CT)C若以Q0[t0，ta]（格拉姆矩阵）表示下式Q0[t0，ta]T0)CT)C0)则式(3-22)可写成(3-6)式(3-6)中是确定的向量，则只要Q0[t0，ta]是非奇异的，初始状态x0就由(即，[t0，ta])，所唯一确定，因此状态x0就是在[t0，ta]上能观测的，且x0可表示为(3-7)此外，由能观性的定义可直接得到下面的结论：若系统S在[t0，ta]上完全

7、能观测，则在[t0，tb](tb>ta)也一定是状态完全能观测的。二、能观性的一般判别方法式(3-5)系统中，若A、B、C阵均为常数阵，则系统为线性定常系统，即19(3-8)定理3-6由式（3-8）描述的系统，其状态完全能观测的充要条件是能观性，矩阵Q0的秩为n.即（3-9）通常把能观系统的A阵和C阵称为能观对（A，C）。对于单输入系统，能控阵为n*n矩阵；对于输入为p的多输入系统，为pn*n矩阵，则在中取线