ch4《现代控制理论》讲稿

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1、第四章动态系统的稳定性分析要点：李雅谱诺夫稳定性定义李雅谱诺夫间接法李雅谱诺夫直接法难点：李雅谱诺夫直接法§4-1李雅普诺夫稳定性定义定义4-1对n阶自由系统=f(x,t)，若存在某一状态，对所有t都有，则称为系统的平衡状态或平衡点。定义4-2（李雅普诺夫意义下稳定）对任意ε>0，存在δ(ε,)>0当，有，（对t>）.则称平衡状态是李亚普诺夫意义下稳定，简称李氏稳定。若δ(ε,)=δ（ε），与无关，则称一致李氏稳定。定义4-3（渐近稳定）若系统不仅是李亚普诺夫意义下稳定，且有，则称平衡状态是渐近稳定。若δ(,)=δ（ε），与无关，则称一致渐进稳定。定义4-4（大范围渐近稳定）若对任意，都有，则

2、称平衡状态是大范围渐近稳定。定义4-5（不稳定）若对任意给定实数ε>0，不论δ怎么小，至少有一个，当，则有，则称平衡状态不稳定。§4-2李雅普诺夫间接法李雅普诺夫间接法是根据A的特征值卡判断系统的稳定性。一、线性定常系统的稳定性定理4-1（间接法稳定判断定理）n阶线性定常系统，平衡点为=0，有（1）是李雅普诺夫意义下稳定的，其充要条件是A的约当标准形J中实部为零的特征值所对应的约当块是一维的，且其余特征值均有负实部。（2）是渐近稳定的充要条件是A的特征值均有负实部。（3）是不稳定的充要条件是A有，某特征值具有实部。例4-1x判=0平衡点的稳定性。解A的特征值所对应约当块是二维的。=当有故=0是

3、不平衡点。二、非线性系统的稳定性对线性系统=f（x，t），设为其平衡点。首先将系统在附近线性化，在邻域内展成泰勒级数，即令，则系统的线性方程为在一次近似的基础上，李雅谱诺夫给出以下结论：（1）A的特征值均有负实部，则渐近稳定，与R（x）无关。（2）A的特征值至少有一个有正实部，则不稳定，与R（x）无关。（3）A的特征值至少有一个实部为0，A的特征值至少有一个的稳定性与R（x）有关，不能由A来决定。§4-3李雅谱诺夫直接法一、稳定性的判别法定理4-2社n阶系统为，平衡状态为=0，如果存在一个标量函数V（x）它满足：（1）V（x）对所有x都有联系的一阶偏导数；（2）V（x）是正定的，即V（x）>0

4、；（3），若有（a）是半负定，即0。则是李氏稳定。（b）是负定的，即<0。则是李氏稳定。（c）0。但不恒等于0，（使=0的解不是状态方程的非零解）是间接稳定。（d）对（b）和（c），当有，则是大范围渐近稳定。（e）正定，即>0，则不稳定。例4-5其中，a为常数，试确定平衡点的稳定性。解=0是唯一的平衡点。试取显然，V（x）>0，且有连续一阶偏导。==当a>0时，有，根据定理4-2中（b），是渐进稳定的平衡点。且当，，故有大范围渐进稳定；当a=0时，有，根据定理4-2中（a），是李氏稳定的平衡点；当a<0，有，根据定理4-2中（e），是不稳定的平衡点。所选V（x）可判稳定性，故是李雅普诺夫函数。

5、一、克拉索夫斯基方法对，是平均点，定理4-3取若<0，则是渐近稳定的，是李氏函数，即当，有，则大范围是渐近稳定。推论4-1对线性定常系统，若A非奇异。当，则=0是大范围渐近稳定。例4-10判断平衡点稳定性。解显然A非奇异，=0是唯一平衡点。其顺序主子式为，由推论4-1，有是大范围渐进稳定。一、李雅谱诺夫方程对线性定常系统，克拉索夫斯基并非都有效。下面给出判别线性定常系统渐近稳定的充分必要条件：取正定二次型做李氏函数；，P为正定对称镇阵，则=+=+=式中：若Q是正定对称阵，则<0。系统是渐近稳定的。从而有；定理4-4渐近稳定的条件是，给定一个对称阵Q，若存在一个对称正定的P阵，满足李氏方程：李氏

6、函数为为了方便，常数Q=I>0，由（4-5）确定P，若P正定，则稳定。例4-11分析平衡点的稳定性。解取Q=I设为对称矩阵，即由李雅普诺夫方程有==则有解得即P=P的顺序主子式为根据希尔维斯特判据，有P>0，即P是对称正定矩阵，再根据定理4-4可判系统是渐进稳定的。系统的一个李雅普诺夫函数为