线性代数第三章补充题及其答案

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1、补充练习三矩阵一、选择题：（1）设A和B均为n阶方阵，则必有（）。（A）

2、A+B

3、=

4、A

5、+

6、B

7、；（B）AB=BA（C）

8、AB

9、=

10、BA

11、（D）（A+B）-1=A-1+B-1（2）设A和B均为n阶方阵，且满足AB=0，则必有（）。（A）A=0或B=0（B）A+B=0（C）

12、A

13、=0或

14、B

15、=0（D）

16、A

17、+

18、B

19、=0（3）设，，，，则必有（）。（A）AP1P2=B；（B）AP2P1=B；（C）P1P2A=B；（D）P2P1A=B（4）设n维行向量，矩阵，，其中E为n阶单位矩阵，则AB=（）。（A）0；（B）E；（C）-E（D）（5）设n阶方阵A非奇异（n≥2），A*是A

20、的伴随矩阵，则（）。（A）(A*)*=

21、A

22、n-1A；（B）(A*)*=

23、A

24、n+1A；（C）(A*)*=

25、A

26、n-2A；（D）(A*)*=

27、A

28、n+2A（6）设n阶方阵A、B、C满足ABC=E，其中E是n阶单位矩阵，则必有（）。（A）ACB=E；（B）CBA=E；（C）BAC=E；（D）BCA=E（7）设，，，，其中A可逆，则B-1等于（）。（A）A-1P1P2；（B）P1A-1P2；（C）P1P2A-1；（D）P2A-1P1（8）已知，P为三阶非零矩阵，且满足PQ=0，则（）。（A）t=6时，P的秩必为1；（B）t=6时，P的秩必为2；（C）t≠6时，P的秩必为1；（

29、D）t≠6时，P的秩必为2（9）设A是m×n矩阵，C是n阶可逆方阵，r(A)=r，矩阵B=AC的秩为r1，则（）。（A）r=r1（B）r>r1（C）r

30、穷多组解。（12）设三阶矩阵，若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有（）。（A）a=b或a+2b=0；（B）a=b或a+2b≠0；（C）a≠b且a+2b=0；（D）a≠b或a+2b≠0；二、填空题：（1）已知：；，设，其中是的转置，则An=_____________。（2）设，B为三阶非零矩阵，且AB=0，则t=___________。（3）设，而n≥2为正整数，则An-2An-1=_______________。（4）设α为3维列向量，αT是α的转置，若ααT=，则αTα=_________________。（5）设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为_________

31、_______。（6）设A和B为可逆矩阵，为分块矩阵，则X-1=___________。（7）设n阶方阵A满足A2+A-4E=0，其中E为n阶单位矩阵，则（A-E）-1=___________________。（8）设矩阵，B=A2-3A+2E，则B-1=_______________。（9）设A、B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，已知AB=2A+B，，则（A-E）-1=________________。（10）设n维向量，其中，E是n阶单位矩阵，，，其中A的逆矩阵为B，则=_______________。三、已知三阶矩阵A的逆矩阵为：，试求伴随矩阵A*的逆矩阵。四、设n

32、阶矩阵A、B满足条件A+B=AB，（1）证明：A-E为可逆矩阵，其中E为n阶单位矩阵；（2）已知，求A。五、已知矩阵，且矩阵X满足：AXA+BXB=AXB+BXA+E，其中E是三阶单位矩阵，求X。六、已知A、B为三阶矩阵，且满足2A-1B=B-4E，其中E是三阶单位矩阵。（1）证明：A-2E可逆；（2）若，求A《线性代数》补充练习三参考答案一、（1）C（2）C（3）C（4）B（5）C（6）D（7）C（8）C（9）A（10）B（11）D（12）C二、（1）（2）-3（3）0（4）3（5）0（6）（7）（8）（9）（10）-1三、四、（1）∵A+B=AB∴AB-A-B+E=E

33、即：（A-E）（B-E）=E∴A-E可逆，且(A-E)-1=B-E，(B-E)-1=A-E（2）A=E+(B-E)-1=五、∵AXA+BXB=AXB+BXA+E∴（AXA-AXB）+（BXB-BXA）=EAX（A-B）+BX（B-A）=EAX（A-B）-BX（A-B）=E（AX-BX）（A-B）=E（A-B）X（A-B）=E……（*）又∵

34、A-B

35、=1≠0∴A-B可逆，且可求出，对（*）式两端左乘(A-B)-1，右乘(A-B)-1，得：。六、（1）∵2A-1B=B-4E，左乘A，得：2B=AB-4A，即：AB-2B-4A=0∴