线性代数补充哦.ppt

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1、第二节齐次线性方程组Systemofhomogenouslinearequations一、齐次线性方程组有非零解的条件讨论齐次线性方程组若记则齐次线性方程组可表示为Ax=0(2)其中矩阵A称为齐次线性方程组的系数矩阵。假设其系数矩阵的秩R（A）=r＞0，为了方便起见，不妨设由于上面假设D≠0，即系数矩阵A的前r列列向量线性无关，因此经过有限次初等行变换可得矩阵A的行最简形为由于A和B的行向量组等价，于是（1）与如下的方程组同解：其中xr+1，…，xn可取任意实数，称为自由未知量。由上面的讨论，我们可容易得到如下定理：定理1齐次线性方程组（1），当它的系数矩阵的秩r=

2、n时，只有零解；当它的系数矩阵的秩r＜n时，有无穷多个解。我们还不难得到以下结论：齐次线性方程组总有解；齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是R（A）＜n；当齐次线性方程组中m＜n，齐次线性方程组有非零解。并可得到下面的推论推论n个变量n个方程的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数行列式等于零。到现在为止，对于齐次线性方程组，我们已解决了在本章开始时提出的三个问题中的前两个问题。当齐次线性方程组有无穷多个解时，如何描述它的所有的解呢？下面我们对解的情况进行讨论，即讨论第三个问题。二、齐次线性方程组解的结构若x1=ξ11，x2=ξ21，…，xn=ξn1为齐次线

3、性方程组（1）的解，则称x=(ξ11，ξ21，…，ξn1)’为齐次线性方程组（2）的解向量。定理2设ξ1，ξ2为齐次线性方程组（2）的两个解向量，则其线性组合k1ξ1+k2ξ2也是齐次线性方程组（2）的解向量（k1，k2为任意实数）。证明这是因为A（k1ξ1+k2ξ2）=k1Aξ1+k2Aξ2=0+0，故得证。由此结论可知，所有齐次线性方程组（2）的解向量的集合形成了一向量空间，此空间称为齐次线性方程组（2）的解空间。而由此我们又想到，如果我们找到了此解空间的基，便能将齐次线性方程组（2）的解向量一并表示出来，我们将齐次线性方程组（2）的解空间的基称为基础解系。假定

4、ξ1，ξ2，…，ξk为齐次线性方程组（2）的k个解向量，如果（a）ξ1，ξ2，…，ξk线性无关；（b）齐次线性方程组（2）的任意解向量是ξ1，ξ2，…，ξk的线性组合，则称ξ1，ξ2，…，ξk为齐次线性方程组（2）的一个基础解系。一个向量空间的基应该不是唯一的，则齐次线性方程组的基础解系也不是唯一的，但其所包含的解向量的个数应该是相同的。下面我们将讨论如何求解齐次线性方程组的基础解系，亦即最终实现用有限个解向量来表示齐次线性方程组的无穷多个解向量。令x=（x1，x2，…，xn）‘是齐次线性方程组（1）的任意解，由（3）式得：以上结论说明，齐次线性方程组（1）的任意解

5、均为ξ1，ξ2，…，ξn-r的线性组合。如果我们能说明ξ1，ξ2，…，ξn-r是齐次线性方程组（1）的解，并且它们线性无关，那么ξ1，ξ2，…，ξn-r就是齐次线性方程组（1）的基础解系。但由ξ1，ξ2，…，ξn-r的取法这两个条件是显然满足的。我们将以上所得到的结论总结成以下定理：定理3如果齐次线性方程组（1）的系数矩阵的秩r=n，它有唯一零解，此时它没有基础解系；如果齐次线性方程组（1）的系数矩阵的秩r＜n，它有无穷多个解，此时它有基础解系，其基础解系包含n-r个解向量，齐次线性方程组（1）的任意解为其基础解系的线性组合。定理3也表明，基础解系的任意线性组合表达

6、了齐次线性方程组（1）的所有解，由此有通解这一概念。如果ξ1，ξ2，…，ξn-r为齐次线性方程组（1）的基础解系，则其任意线性组合x=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r（k1，k2，…，kn-r为任意实数）称为齐次线性方程组（1）的通解。求齐次线性方程组的基础解系有以下步骤：用初等行变换将齐次线性方程组（1）的系数矩阵化为行最简形，以此得到齐次线性方程组（1）同解的方程组，即得到(3)的形式；根据(3)的特殊形式写出其基础解系和通解。例1求解齐次线性方程组解对系数矩阵施行初等行变换成为行最简形：于是得到与原方程组同解的方程组令x3=k1，x4=k2，可把它写成

7、通常的参数形式，其中k1，k2为任意实数，或写成向量形式原方程组的基础解系为