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《线性代数补充习题解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、书本P59习10.设是一组n维向量，已知n维单位坐标向量能由它们线性表示，证明线性无关。证明：由于任意n维向量均可由单位坐标向量线性表示，所以向量组能由线性表示，又由题中条件能由线性表示，于是与等价，因此它们的秩相等，又向量组的秩为n，所以向量组的秩也为n，于是线性无关。与书P137习6及练习八、一（4）相似题.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知，，是它的三个解向量，且=，+=，求该方程组的通解。解：由四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，知对应齐次线性方程组的基础解系只有一个解向量。由119页
2、及129页性质知2-（+）=（-）+（-）=是对应齐次线性方程组的一个解，由于其不等于0，于是它是一个基础解系，因此原非齐次线性方程组的通解为+k，其中k为任意实数。书P138习10设是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明：（1），，线性无关；（2），+，。。。，+线性无关。证明：（1）由是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，于是有A=b，A=0。设存在一组数k，，使k++。。。+=0，两边同时左乘A，则有kA+A+。。。+A=0
3、,即kA=kb=0，由b0知k=0，于是+。。。+=0，由，线性无关知==0，即，，线性无关；（2）设存在一组数k，，使k+（）+。。。+（）=0，即（k++）++。。。+=0，两边同时左乘A，则有（k++）A+A+。。。+A=0，可知k++=0，于是+。。。+=0，由，线性无关知==0，从而k=0，于是，+，。。。，+线性无关。书P175习16（3）.证明：由二次型性质，知存在正交矩阵P，正交变换x=Py把二次型化为=，其中，为A的特征值。由，知，即=1，因此f的最大值为矩阵A的最大特征值。补充题1.证明R
4、(A)=1的充分必要条件是存在非零列向量及非零行向量,使A=.证明:必要性:设A是mn矩阵,由R(A)=1,则存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q使PAQ==,则有A=,令=及=,则和分别为非零列向量和非零行向量;充分性:设=和=分别是非零列向量及非零行向量,由A=及补充性质R（AB）min{R(A),R(B)},知R(A)1,又A==,不可能全为零,于是R(A)=1.2.设,,证明向量组线性相关。证明：由于=且矩阵的行列式等于0，于是其秩小于4，因此向量组的秩也小于4，于是线性相关。3.设，且向量组线性无关，证明
5、向量组线性无关。证明:=,由可逆及补充性质知线性无关。4.设是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n维向量均可由它们线性表示。证明：必要性：若线性无关，则对于任一n维向量a，向量组，a线性相关（p50页推论），于是a可由线性表示；充分性：若任一n维向量均可由线性表示，则单位向量组能由它们线性表示，又能由线性表示，于是与等价，它们的秩相等，所以线性无关.5.设向量组线性相关，且证明存在某个向量（2，使能由线性表示。证明：反证法。假设对于任意向量（2，都不能由线性表示。即不能由线性表示，亦即方程=
6、无解，由知R（）=1，于是必有R(,)=2,即，线性无关；同理，不能由，线性表示，亦即方程=+无解，由R(,)=2,知R（，，）=3，依此类推，知不能由线性表示，则有R（）=m，即线性无关，与已知它们线性相关矛盾，于是假设错误，即必存在某个向量（2，使能由线性表示。6.设向量组B：能由向量组A：线性表示为（）=（）K，其中K为矩阵，且A组线性无关，证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)=r.证明：设K=，由（）=（）K则有，设有一组数，使+=0，即++。。。+=0，整理得++。。。。。。+由线性无
7、关得B组线性无关的充要条件是该方程组只有零解，而该方程组只有零解的充分必要条件是系数矩阵K=的秩R（K）=r。7.已知3阶矩阵A与3维列向量x满足-，且向量组x,Ax，线性无关。（1）记P=（x,Ax，），求3阶矩阵B，使AP=PB；（2）求。解：由-有A（+Ax-3x）=0,假设0，则A可逆，于是有+Ax-3x=0，与条件x,Ax，线性无关矛盾，假设错误，即有=0。由向量组x,Ax，线性无关知P可逆，再由AP=PB知B=，则B唯一。设B=，则P=AP，即（x,Ax，）=A（x,Ax，），由-有（x,Ax，）
8、=（Ax，,）=（Ax，,3Ax-），由矩阵乘法及x,Ax，线性无关可知=8.设矩阵A=（，，，），其中，，线性无关，=2-，向量b=+++,求方程Ax=b的通解。解：由，，线性无关，=2-知R（A）=3，于是方程组Ax=0的基础解系只有一个解向量。又由=2-有-2++0=0，即（，，，）=0，于是是Ax=0的基础解系。又由b=+++，即（，，，）=b，知是Ax=b的一个特解，于是该方程组的通解为+
