清华大学多元微积分期中考题

《清华大学多元微积分期中考题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2005级多元微积分期中考题2006.4答案A一．填空题1．22．3．4．或写成5．6．7．，8．9．10．11．012．二．计算题1．设，其中有二阶连续偏导数，求。解：…………………………..2分，……………………….3分………………………………….3分2．考查函数的极值。解：由………………………………………….2分得的驻点满足，为………………..2分又，，………………….2分所以没有极值。………………………………………………………2分3．利用已知积分，计算积分，其中，。解法一（积分号下求导）：令，。因为和为连续函数，且任意，存

2、在正常数使广义积分一致收敛，………………………………………………….3分根据含参变量的广义积分求导定理，对任意，………………………………..2分因此，，。于是，。……3分*****不证明“一致收敛”扣3分*********************************************解法二（积分号下求积分）：利用关系，以及连续函数的广义积分在上一致收敛性，…………………………………………….3分由含参变量的广义积分求积分定理，可以得到。…………………………………………………5分4．求二重积分，其中。解：用极坐标系，………

3、………….用到极坐标…………………….2分…………………3分………….3分5．设，将展为周期为2的Fourier级数，并由此证明。解：……………………………………3分…………………….…………….2分令。………………3分6．设函数为由方程确定的二阶可微函数，其中具有连续二阶导数。求与。解：，对求偏导，…………………………………………………4分…………………………………4分三．证明题1．设是连续函数，证明：，其中。证：做变换……………………………………………………………………..3分，…………………………..2分于是有。………………

4、…….3分2．设在上有二阶连续偏导数，在内满足，且在上，，证明：当时，。（提示：可用反证法证明）证明：反证法：假设存在点满足且。由条件：在上，可知，在上的连续函数在区域的最小值点一定发生在区域的内部，因此一定是极小值点，矩阵正定或半正定，这与矛盾。假设不成立，即当时，。