三参数弹性地基梁的有限差分法

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1、2014年8月第8期城市道桥与防洪相关专业347三参数弹性地基梁的有限差分法王晓琴，赵德安一，刘云帅。(1．西北民族大学土木工程学院，甘肃兰州7301~；2．兰州交通大学土木工程学院，甘肃兰州730070：3．兰州理工大学土木工程学院，甘肃兰州730050)摘要：该文选用三参数地基模型，对Winkler弹性地基模型进行修正。根据已有的双参数弹性地基粱的有限差分法，把地基梁的挠曲微分方程转化为线性差分方程组，推导出三参数弹性地基梁的有限差分方程，得到不考虑广义剪力自由梁端的解答。利用MATLAB编制相应的程序，通过对算例的比较和分析，表明该方法可行，计算结果准确。关键词：地基；基础；三参数地基模

2、型；有限差分；位移；地基反力中图分类号：TU433文献标识码：A文章编号：1009—7716(2014)08—0347—03型做出如下改进【】：0引言K=k[1+13e删】(1)在地基基础的设计中，合理的方法是考虑两p=Kw(2)者之间的共同作用。在地基与基础的共同工作中，其中，k为基床系数，表征了地基土的基本如何选择地基模型非常关键。合理选择地基模型刚度；和为无量纲参数，与地基土性质有关；不仅直接影响地基反力的分布和基础的沉降，而为所考虑点的相对坐标：，2为梁长的一半，且影响基础结构和上部结构的内力分布和变形。如图1所示。通常取a=lO，按表l选择值。图目前国内外学者已提出许多有价值的地基模

3、型，1为地基梁示意图。其中1867年捷克工程师提出了经典的Winkler地表1地基土的B值表基模型。Winkler模型假定地基上任一点所受的压强与该点的地基沉降成正比，即，其中为基床系数。由于Winkler模型计算方法简单，在工程中得到广泛运用，在计算方法上已成熟【”。该模型认为地基由一系列弹簧所组成，且各弹簧之间互不联系。由于Winkler模型没有考虑土介质的连续性，出现了许多改进的模型[21，如双参数弹性地基模型，该模型假设弹簧之间可以传递剪力。利夫金提出了三参数弹性地基模型，该模型考虑了基础底面尺寸效l应的影响，描述了基础范围以外的土体对地基刚度和接触压力分布性质的修正，弥补了Winkl

4、er地基模型不能扩散应力和变形的缺陷。本文采用三参数地基模型，建立弹性地基梁图1地基梁示意图的有限差分方程，编制相应的计算机程序进行数1．1．2粱的挠曲微分方程值分析，并对文献提供的算例进行对比分析。纯弯曲状态下，梁的挠曲微分方程可表示1差分方程组的建立和求解为：1．1相关基本公式告一(川(3)1．1．1三参数弹性地基模型其中，E为梁材料的弹性模量，kPa；，为梁的三参数弹性地基模型对Winkler弹性地基模截面惯性矩，m；()为梁截面的弯矩，kN·m。收稿日期：2014—04—041．1．3有限差分法基金项目：国家自然科学基金资助(51268031)；甘肃省自然差分法就是把微分用有限差分代替

5、，把导数科学基金资助(1107RJZA084)；高校基本科研业务费资助(212098)用有限差商代替，从而把微分方程近似地转换为作者简介：王晓琴(1979一)，女，在读博士生，讲师，研究方差分方程来表示。向：岩土与地下工程。348相关专业城市道桥与防洪2014年8月第8期对于)在点处的二阶导数(器)，近26

6、j}∑(Ⅳ一啦u’(10)i=l似用二阶中心差分来表示：(2)梁上所有竖向力之和为零。(等)(4)』v一1hbk∑[1+fle叶‘’]∑P(11)利用式(4)可以将梁的挠曲常微分方程转换i=1这样就建立了以各梁段中点的挠度W为未知为差分方程。1．2几点假设数的Ⅳ个线性方程组，将式(9)、(

7、1O)、(11)写成矩(1)假设地基梁底宽b不变，将其Ⅳ等分成阵的形式，为：长h的梁段，各梁段中点的挠度为W(江1，2，3，】J=((12)⋯其中，{)为各梁段中点的挠度列向量，为未，Ⅳ)，Wi为i梁段的平均挠度。因此，梁段基底面积A=hb上的地基反力可近似认为是均匀的，知向量，{}={，W：，⋯，wN}：；{为各梁上外荷其强度用P表示，则i梁段上的基底总反力为载向量；{毋={z，，，⋯，∑P}：，系数矩阵Ri=pA。(2)假设不考虑广义剪力，梁端遂为自由端，】为N×N阶方阵。解式(12)便可求出各梁段中沿梁宽方向的挠度不变，对于第1梁段和第N梁心的挠度值，将所求挠曲值再代人式(5)、式段，假

8、定其弯矩为零[4]。(6)就可求出各梁段中心反力P及弯矩。一般(3)假设地基与梁之间无摩擦力。情况下，将梁等分成10～20便有足够的精度；1．3建立差分方程若要获得更高精度，可把梁划分得更细。由以上假设可得：R=pA=pihb=hbk[1+fle-aO-~)]毗i=2，3，⋯，Ⅳ(5)将梁划分为有限的Ⅳ个梁段，各梁段中心作+用了Ⅳ个离散的集中反力R，以各梁段中点的挠2Ⅳ一3⋯l0度W为未知量，除梁