弹性地基梁理论

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1、地下建筑结构第3章弹性地基梁理论崔振东副教授IAEG,FICDM,FICCEcuizhendong@cumt.edu.cn中国矿业大学岩土工程研究所本章内容1概述2按温克尔假定计算弹性地基梁的基本方程3按温克尔假定计算短梁4按温克尔假定计算长梁5按地基为弹性半无限平面体假定计算基础梁3.1概述弹性地基梁放置在具有一定弹性地基上，各点与地基紧密相贴的梁可以平放的，也可以是竖放的地基介质可以是岩石等固体材料，也可以是水、油之类的液体材料弹性地基梁是超静定梁，针对弹性地基梁的计算理论称为弹性地基梁理论3.1概述弹性地基梁与普通梁的区别超静定的次数是有限，还是无限普通梁的支座通常看作刚性

2、支座，即略去地基的变形，只考虑梁的变形；弹性地基梁必须同时考虑地基的变形3.2按温克尔假定计算弹性地基梁的基本方程局部弹性地基模型1867年前后，温克尔（E.Winkler）对地基提出如下假设：地基表面任一点的沉降与该点单位面积上所受的压力成正比。py=k式中,y为地基的沉陷（m）；k为地基系数（kPa/m），其物理意义为：使地基产生单位沉陷所需的压强；p为单位面积上的压力强度(kPa)3.2按温克尔假定计算弹性地基梁的基本方程局部弹性地基模型这个假设实际上是把地基模拟为刚性支座上一系列独立的弹簧。当地基表面上某一点受压力p时，由于弹簧是彼此独立的，故只在该点局部产生沉陷y，而在

3、其他地方不产生任何沉陷。因此，这种地基模型称作局部弹性地基模型。弹性底座3.2按温克尔假定计算弹性地基梁的基本方程ò3.2.1弹性地基梁的挠度曲线微分方程右图表示一等截面的弹性地基梁，梁宽b=1根据温克尔假定，地基反力:σ=Ky3.2.1弹性地基梁的挠度曲线微分方程dQ根据力的平衡条件∑Fy=0=σ−q(x)dx根据力矩平衡条件∑M=0dMQ=dx2dQdM==σ−q(x)2dxdx3.2.1弹性地基梁的挠度曲线微分方程若不计剪力对梁挠度的影响，由材料力学知识得dy⎫θ=⎪dx2⎪dθdy⎪dQd2MM=−EI=−EI⎬dxdx2==σ−q(x)⎪2dMd3ydxdx⎪Q==−E

4、Idxdx3⎪⎭4KdyEI=−Ky+q(x)令α=4梁的弹性标值4dx4EI44dy44α+4αy=q(x)4dxK3.2.1弹性地基梁的挠度曲线微分方程44dy44α+4αy=q(x)4dxK为了便于计算，用αx代替变量xdydyd(αx)dy==αdxd(αx)dxd(αx)4dy4+4y=q(αx)4d(αx)K3.2按温克尔假定计算弹性地基梁的基本方程ò3.2.2挠度曲线微分方程的齐次解44dy4dy+4y=q(αx)+4y=044d(αx)Kd(αx)αx−αxαx−αxe−ee+eshαx=,chαx=22y=Cchαxcosαx+Cchαxsinαx+Cshαxc

5、osαx+Cshαxsinαx1234下面将弹性地基梁分为短梁和长梁分别考虑，以定出齐次解中的四个常数与附加项（荷载影响）。再将一般解与附加项叠加，就得到微分方程的最终解答。3.3按温克尔假定计算短梁ò3.3.1初参数和双曲三角函数的引用y=Cchαxcosαx+Cchαxsinαx+Cshαxcosαx+Cshαxsinαx12343.3.1初参数和双曲三角函数的引用y=Cchαxcosαx+Cchαxsinαx+Cshαxcosαx+Cshαxsinαx12343.3.1初参数和双曲三角函数的引用3.3按温克尔假定计算短梁ò3.3.2荷载引起的附加项3.3.2荷载引起的附加项

6、（1）集中荷载P引起的附加项3.3.2荷载引起的附加项（2）力矩荷载M引起的附加项3.3.2荷载引起的附加项（3）分布荷载q引起的附加项如视x为常数，则d(x-u)=-du3.3.2荷载引起的附加项（3）分布荷载q引起的附加项代入分部积分3.3.2荷载引起的附加项（3）分布荷载q引起的附加项一段均布荷载一段三角形分布荷载全跨布满均布荷载全跨布满三角形荷载3.3.2荷载引起的附加项—分布荷载q引起的附加项a.梁上有一段均布荷载的附加项dqq=q,=00du3.3.2荷载引起的附加项—分布荷载q引起的附加项b.梁上有一段三角形分布荷载的附加项ΔqdqΔqq=()u−x,=−3x−xd

7、ux−x43433.3.2荷载引起的附加项—分布荷载q引起的附加项c.梁的全跨布满均布荷载的附加项当均布荷载q布满梁的全跨时，0则x=0，并且任一截面的坐标距3x永远小于或等于x。43.3.2荷载引起的附加项—分布荷载q引起的附加项d.梁的全跨布满三角形荷载的附加项当三角形荷载布满梁的全跨时，则x=0，并且任一截面的坐标距3x永远小于或等于x。43.3.2荷载引起的附加项在衬砌结构的计算中，常见的荷载有均布荷载、三角形分布荷载、集中荷载和力矩荷载。y=θ=M=Q=3.3按温克尔假