弹性地基梁理论-第三讲

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1、弹性地基梁理论本讲内容—弹性地基梁理论概述弹性地基梁的计算模型弹性地基梁的挠度曲线微分方程及其初参数解弹性地基梁短梁、长梁及刚性梁算例1.概述定义：弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地基上，各点与地基紧密相贴的梁。如铁路枕木、钢筋混凝土条形基础梁，等等。通过这种梁，将作用在它上面的荷载，分布到较大面积的地基上，既使承载能力较低的地基，能承受较大的荷载，又能使梁的变形减小，提高刚度降低内力。地下建筑结构弹性地基梁可以是平放的，也可以是竖放的，地基介质可以是岩石、粘土等固体材料，也可以是水、油之类的液体介质。弹性地基梁是超静定梁，其计算有专门的一套计算理论。1.荷载种

2、类和组合弹性地基梁与普通梁的区别：普通梁只在有限个支座处与基础相连，梁所受的支座反力是有限个未知力，因此，普通梁是静定的或有限次超静定的结构。弹性地基梁与地基连续接触，梁所受的反力是连续分布的，弹性地基梁具有无穷多个支点和无穷多个未知反力。弹性地基梁是无穷多次超静定结构。超静定次数是无限还是有限，这是它们的一个主要区别。普通梁的支座通常看作刚性支座，弹性地基梁则必须同时考虑地基的变形。一方面梁给地基以压力，使地基沉陷，反过来，地基给梁以相反的压力，限制梁的位移。而梁的位移与地基的沉陷在每一点又必须彼此相等，才能满足变形连续条件。地基的变形是考虑还是略去，这是它们的

3、另一个主要区别。2.弹性地基梁的计算模型计算模型分类：.由于地基梁搁置在地基上，梁上作用有荷载，地基梁在荷载作用下与地基一起产生沉陷，因而梁底与地基表面存在相互作用反力，的大小与地基沉降y有密切关系，很显然，沉降越大，反力也越大，因此在弹性地基梁的计算理论中关键问题是如何确定地基反力与地基沉降之间的关系，或者说如何选取弹性地基的计算模型问题。局部弹性地基模型2.半无限体弹性地基模型局部弹性地基模型1867年前后，温克尔（E.Winkler）对地基提出如下假设：地基表面任一点的沉降与该点单位面积上所受的压力成正比。即式中,y为地基的沉陷，m；k为地基系数，，其

4、物理意义为：使地基产生单位沉陷所需的压强；p为单位面积上的压力强度，。这个假设实际上是把地基模拟为刚性支座上一系列独立的弹簧。当地基表面上某一点受压力p时，由于弹簧是彼此独立的，故只在该点局部产生沉陷y，而在其他地方不产生任何沉陷。因此，这种地基模型称作局部弹性地基模型。（3.1）优点：可以考虑梁本身的实际弹性变形，消除了反力直线分布假设中的缺点。局部弹性地基模型缺点：没有反映地基的变形连续性，当地基表面在某一点承受压力时，实际上不仅在该点局部产生沉陷，而且也在邻近区域产生沉陷。由于没有考虑地基的连续性，故温克尔假设不能全面地反映地基梁的实际情况，特别对于密实厚土

5、层地基和整体岩石地基，将会引起较大的误差。但是，如果地基的上部为较薄的土层，下部为坚硬岩石，则地基情况与图中的弹簧模型比较相近，这时将得出比较满意的结果。2.半无限体弹性地基模型把地基看作一个均质、连续、弹性的半无限体（半无限体是指占据整个空间下半部的物体，即上表面是一个平面，并向四周和向下方无限延伸的物体）。优点：缺点：一方面反映了地基的连续整体性，另一方面又从几何上、物理上对地基进行了简化，可以把弹性力学中有关半无限弹性体这个古典问题的已知结论作为计算的基础。其中的弹性假设没有反映土体的非弹性性质，均质假设没有反映土体的不均匀性，半无限体的假设没有反映地基的分

6、层特点等。此外，这个模型在数学处理上比较复杂，因而在应用上也受到一定的限制。本章所讨论的弹性地基梁计算理论采用局部弹性地基模型。3.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式及其初参数解基本假设：除局部弹性地基模型假设外，还需作假设：（1）地基梁在外荷载作用下产生变形的过程中，梁底面与地基表面始终紧密相贴，即地基的沉陷或隆起与梁的挠度处处相等；（2）由于梁与地基间的摩擦力对计算结果影响不大，可以略去不计，因而，地基反力处处与接触面相垂直；（3）地基梁的高跨比较小，符合平截面假设，因而可直接应用材料力学中有关梁的变形及内力计算结论。1.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式左图所示为局

7、部弹性地基梁上的长为l、宽度b为单位宽度1的等截面直梁，在荷载及Q作用下，梁和地基的沉陷为，梁与地基之间的反力为。在局部弹性地基梁的计算中，通常以沉陷函数作为基本未知量，地基梁在外荷载、Q作用下产生变形，最终处于平衡状态，选取坐标系xoy，外荷载，地基反力，梁截面内力及变形正负号规定如右图所示。1.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式为建立应满足的挠曲微分方程，在梁中截取一微段，考察该段的平衡有：得：得：化简得：将上式对于x求导得：略去二阶微量得：（3.2）（3.3）（3.4）如果梁的挠度已知，则梁任意截面的转角Q，弯矩M，剪力Q可按材料力学中的公式来计算，即:1.弹性

8、地基梁的挠