2 有限差分法

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1、第2讲有限差分法FiniteDifferenceMethod1第2讲有限差分法提纲一、有限差分法基本概念二、泊松方程的有限差分格式三、差分方程组求解四、工程应用2一、有限差分法基本概念有限差分法求解的问题：微分方程、偏微分方程、高阶线性方程、高阶非线性方程，等等.dff(x)差分和微分dxxxh一、有限差分法基本概念f(x)f(xh)f(x)一阶差分前向差分xhf(x)f(x)f(xh)xh后向差分hhf(x)f(x)f(x)22中心差分xh2df(x)12df(x)一阶精度,O(h2

2、)精度：f(xh)f(x)hh2dx!2dx2df(x)12df(x)一阶精度,O(h2)f(xh)f(x)hh2dx!2dx3f(xh)f(xh)2hdf(x)2h3df(x)二阶精度,O(h3)3dx!3dx一、有限差分法基本概念2二阶差分f(x)1f(xh)f(x)（前向差分）2xxx1f(xh)f(x)f(x)f(xh)()xhhf(xh)2f(x)f(xh)中心差分2h精度：242df(x)24df(x)f(xh)f(xh)2f(

3、x)hh24dx!4dxO(h4)，三阶阶精度一、有限差分法基本概念偏微分的差分f(x)f(xh,y)f(x,y)0000f前向差分xxh22例题求xyxyfxy[(,)(,)](,)的中心差分逼近22xx解：令(x,y)(xh,y)(x,yh)ijiji,1jiji,j1ij22i,1jiji,1ji,j1iji,j1[]f(x,y)得：22iixy一、有限差分法基本概念有限差分法求解问题的步骤第一步：将求解场域离散化

4、第二步，写出场域内偏微分方程及其边界上（包括场域内不同介质分界面上的差分格式）第三步，编程计算，迭代运算或者求解方程组二、泊松方程的有限差分格式222泊松方程：ff（1）22xy第一类边界条件:已知整个边界上的位函数，

5、Cg(p)又叫Dirichlet(狄里赫利)问题。第二类边界条件：已知整个边界上的位函数的g(p)法向导数，即已知导体表面上的面电荷密度，nC又叫Neumann（诺埃曼）问题。第三类边界条件：已知一部分边界上的位函数，另一部分边界上的位函数的法向导数。又叫混合型边值问

6、题，或拉宾问题。二、泊松方程的有限差分格式yD场域离散化hh2h31Ch4ox一阶偏导数的差分格式（P.23）hhh13x133()O(h)30x二阶精度,O(h)x2hx二阶偏导数的差分格式（P.23-23）2222103一阶精度,O(h)()O(h)202xxhx222042()O(h)202yyhy二、泊松方程的有限差分格式22泊松方程的差分格式103204f220hhxy在任意一点上11(2)(2)f2i

7、,1ji,ji,1j2i,j1i,ji,j1i,jhhxy——泊松方程的五点差分格式当hx=hy时4h2fi,1ji,1ji,j1i,j1i,ji,j（2）拉普拉斯方程的差分格式40（3）i,1ji,1ji,j1i,j1i,j柱坐标系中拉普拉斯方程的差分格式，式（2.40）——作业二、泊松方程的有限差分格式介质分界面上的差分格式(P.25)式（2.43）角点介质分界面上的差分格式，式（2.44）介质与导体分界面的差分格式？第一类边界条件的差分格式——P

8、.27第二、第三类边界条件的差分格式——P.28二、泊松方程的有限差分格式有源区域和无源区域分界面上的差分格式ab2A区24h0a1a2a3a4a0a2虚构点B区040b1b2b3b4b0利用边界条件：a2b2,a4，b4()()aa1a3bb1b3二、泊松方程的有限差分格式由以上四式得：22(4h)2(4)0aa3b2b4a0bb1b2b4b0a（4）若ab12则b1b

9、2b4a34b0h02——与泊松方程的五点差分格式相似二、泊松方程的有限差分格式其他形式网格情况正三角形六点式正方形九点式3262543010174856六边形三点式142(12330)23h003三、差分方程组求解P.32直