19.1.2 平行四边形的判定

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1、平行四边形的判定复习回顾有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等.平行四边形的对角线互相平分。性质：定义：通过前面的学习，我们知道，平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分。那么反过来，对边相等或对角相等或对角线互相平分的四边形是不是平行四边形呢？已知：四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，求证：四边形ABCD是平行四边形。ABCD1234分析：要证明一四边形是平行四边形，需要根据平行四边形的定义判断，即要证该四边形两组对边分别平行。由题意知通过三角形全等可得到相等的内错角，即可证得平行。探究ABCD1234证明

2、：连结AC，在△ABC和△CDA中,AB=CD(已知)BC=DA(已知)AC=CA(公共边)∴△ABC≌△CDA(SSS)∴∠1=∠4,∠2=∠3∴AB∥CD,AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形。由上述证明可以得到平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。当一个四边形对角分别相等，这个四边形是平行四边形吗？当一个四边形对角线互相平分，这个四边形是平行四边形吗？类似地，思考下列问题：1.已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形。ABCD证明：又∵∠A=∠C，∠B=∠D∵∠A+∠C+∠B+∠D=3600∴2

3、∠A+2∠B=3600即∠A+∠B=1800∴AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形。同理得AB∥CD探究2.已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：ABCDO对顶角相等.在△AOB和△COD中,OA=OC(已知)OB=OD(已知)∠AOB=∠COD(对顶角相等)∴△AOB≌△COD(SAS)∴∠BAO=∠OCD,∠ABO=∠CDO∴AB∥CD,AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形。梳理平行四边形的判定定理：判定1定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。判定3两组对角分别相等的四边形是平行四边形。判定4两条对角

4、线互相平分的四边形是平行四边形。判定2两组对边分别相等的四边形是平行四边形。ABCDOAB=DCAD=BCABCDAB∥DCAD∥BCABCD∠ABC=∠ADC∠BAD=∠BCDABCDOA=OCOB=ODABCD几何语言描述判定：1、下面给出了四边形ＡＢＣＤ中∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ，∠Ｄ的度数之比，其中能判定四边形ＡＢＣＤ是平行四边形的是（）Ａ．１：２：３：４Ｃ．２：３：２：３Ｂ．２：２：３：３Ｄ．２：３：３：２需要两组对角分别相等.C2、在下列条件中，能判定四边形ＡＢＣＤ为平行四边形的是（　　）Ａ．ＡＢ＝ＡＤ，ＣＢ＝ＣＤＢ．ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣＤ．∠Ａ＝∠Ｂ，∠Ｃ

5、＝∠ＤＣ．ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣABCDC若一组对边平行且相等，这个四边形是平行四边形吗？已知：四边形ABCD中，AD=BC，AD∥BC,求证：四边形ABCD是平行四边形。ABCD12在△ABC和△CDA中,AD=BC(已知)AC=CA(公共边)∠1=∠2(已证)∴△ABC≌△CDA(SAS)∴AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形。证明：∵AB∥CD∴∠1=∠2又∵AD=BC探究还可以怎样证明？由上题我们得到平行四边形的又一个判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。ABCDABCD“”读作“平行且相等”.ADBC归纳填空题：如图，在四边形ABCD中，①

6、如果AD=8cm，AB=4cm，且BC=____cm，CD=____cm，那么四边形ABCD是平行四边形。84两组对边分别相等的四边形是平行四边形ABCD练习②若∠A=1200,则∠B=____0,∠C=____0，∠D=____0时，四边形ABCD是平行四边形。1206060两组对角分别相等的四边形是平行四边形ABCD③如果AD//BC，AD=6cm，且BC=___cm，那么四边形ABCD是平行四边形。6一组对边平行且相等的四边形是平行四边形ABCD④如果AC、BD相交于点O，AC=8cm，BD=10cm,且AO=____cm，DO=____cm，那么四边形AB

7、CD是平行四边形。45对角线互相平分的四边形是平行四边形ABCDO例1已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF。求证：四边形BFDE是平行四边形.DABCEF证明：ABCD中AO=CO，BO=DO∵AE=CF∴AO-AE=CO-CF∴EO=FO又∵BO=DOO∴四边形BFDE是平行四边形.例题讲解例2如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，分析：要证明线段的倍分关系，可将DE加倍后证明与BC相等。从而转化为证明平行四边形的对边的关系，于是可作辅助线，利用全等三角形来证明相应的边相等.求证:DE∥BC,DEBCA证明：延长DE至F，

8、使EF=D