[研究生入学考试]线性代数第8讲

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1、线性代数第8讲n维向量及其线性相关性本文件可从网址http://math.vip.sina.com上下载(单击'ppt讲义'后选择'工程数学'子目录)7/9/20211附录2　数域　命题　量词1.数域一个含有数0,1的数集F,如果其中任意两个数关于数的四则运算封闭(除法的除数不为零),即它们的和,差,积,商仍是F中的数,则数集F就称为一个数域.7/9/20212全体有理数,实数,复数级成的数集都是数域,称为有理数域,实数域,复数域,分别记作Q,R,C.7/9/20213II命题命题是一个陈述句,这个陈述句可以用"是"或者"否"来判定其真伪,可以转换为一个"是/否"

2、问题.如:雪是白的.雪不是白的.两个三角形相似当且仅当两个三角形三个内角分别相等.命题有简单命题和复合命题两种.7/9/20214逻辑连接词析取词,合取词,蕴含词,双蕴含词否定词7/9/20215例如假设p为"刮风",q为"下雨"pq:刮风且下雨pq:刮风或下雨pq:如果刮风,则必下雨pq:刮风是下雨的充分必要条件p:没有刮风(pq):如果刮风,也未见得就会下雨.7/9/20216条件命题pq(若p则q)与其逆否命题(q)(p)(可简写为qp)是等价命题设p为刮风,q为下雨pq如刮风必下雨和qp如不下雨必无刮风是等价命

3、题.用反证法证明一个数学定理"若p则q",就是证明它的逆否命题"若非q则非p"7/9/20217III量词有些命题常用两种断言:"集X中每个元素具有性质p";"集X中至少存在一个元素具有性质p".为表述简便,用逻辑符号:"xX,p"(或"(xX)p")和"xX,p"(或"(xX)p)表示.7/9/20218例如,对于集合A与B,AB的含义是"若aA,则aB".这可表述为aA,aBAB的否定为AB,含义是aA,aB7/9/20219一般地,含有量词的命题的否定命题,满足下面两个基本的等价规则:非(xX)p,等价于(xX)

4、非p;非(xX)p,等价于(xX)非p.7/9/202110定义1数域F上的n个数a1,a2,...,an构成的有序数组,称为数域F上的一个n元向量(以后常称n维向量),记作a=[a1,a2,...,an],(3.2)其中ai称为a的第i个分量.向量写作(3.2)的形式,称为行向量;向量写作列的形式(也用矩阵的转置记号表示)a=[a1,a2,...,an]T(3.3)称为列向量((3.2),(3.3)式的方括号也可用圆括号).数域F上全体n元向量级成的集合,记作Fn.7/9/202111定义2设a=[a1,a2,...,an],b=[b1,b2,...

5、,bn]Fn,kF,定义(i)a=b,当且仅当ai=bi(i=1,2,...,n)(ii)向量加法(或a与b之和)为a+b=[a1+b1,a2+b2,...,an+bn];(iii)向量的数量乘法(简称数乘)为ka=[ka1,ka2,...,kan],ka称为向量a与数k的数量乘积.取k=-1,(-1)a=[-a1,-a2,...,-an].(3.4)称右端为a的负向量,记作-a.则向量减法定义为b-a=b+(-a).分量全为零的向量称作零向量,记作0n或0.7/9/202112上述在Fn中定义的向量加法和数乘运算称为向量的线性运算,满足八条运算规则:

6、(1)a+b=b+a(加法交换律);(2)(a+b)+g=a+(b+g)(加法结合律);(3)对任一向量a,a+0=a;(4)对任一向量a,存在负向量-a,使a+(-a)=0(5)1a=a;(6)k(la)=(kl)a(数乘结合律);(7)k(a+b)=ka+kb(数乘分配律);(8)(k+l)a=ka+la(数乘分配律);其中a,b,gFn,1,k,lF,0为零向量.7/9/202113除上面八条规则外,还有下面三个性质:(1)0a=0,k0=0(其中0为数零,k为任意数);(2)若ka=0,则或者k=0,或者a=0;(3)向量方程a+

7、x=b有唯一解x=b-a.定义3数域F上的全体n元向量,在其中定义了上述向量的加法和数乘运算,就称之为数域F上的n维向量空间,仍记作Fn.当F=R(实数域)时,叫做n维实向量空间,记作Rn.7/9/202114定义4设aiFn,kiF(i=1,2,...,m),则向量称为向量组a1,a2,...,am在数域F上的一个线性组合.如果记就说b可由a1,a2,...,am线性表示(或线性表出).7/9/202115向量的线性相关性是向量在线性运算下的一种性质,它是线性代数中极为重要的基本概念.为了更好地理解这个概念,先讲一下它在三维实向量中的某些几何背景,然后给以一

8、般定义.