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1、答案仅供参考⋅打印/复印请选双面格式(节约纸张)祝您好运!1历年全国硕士研究生入学考试线性代数试题版本:2001-2011解题方法及依据的知识点见下列参考文献:[1]陈建龙等,《线性代数》(十一五国家级规划教材),科学出版社,2007.[2]张小向等,《线性代数学习指导》,科学出版社,2008.[3]周建华等,《几何与代数》(十一五国家级规划教材),科学出版社,2009.一.填空题2−11.000111数数数一一一设矩阵A满足A+A−4E=O,其中E为单位矩阵,则(A−E)=_________.2−11解:A+A−4E=O⇒(A−E)(A+2E
2、)−2E=O⇒(A−E)(A+2E)=2E⇒(A−E)=(A+2E).2⎡⎤a11⎡⎤x1⎡1⎤2.000111数数数二二二设方程⎢⎥11ax⎢⎥=⎢1⎥有无穷多个解,则a=_______.2⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦11a⎣⎦x3⎣−2⎦a11aaa+++222111×(−1)1112解:1a1=11a=(a+2)11a=(a+2)01a−0=(a+2)(a−1).11a11a11a00a−12原方程有无穷多个解⇒(a+2)(a−2)=0⇒a=−2或1.⎡⎤a111⎡⎤1111×(−1)⎡1111⎤⎡1111⎤当a=1时,⎢⎥11a1=⎢⎥1111→⎢
3、0000⎥→⎢000−3⎥,由此可见此⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦11a−2⎣⎦111−2⎣000−3⎦⎣0000⎦时原方程有无解.因此a=−2.⎡⎤a111⎡⎤−2111⎡−2111⎤事实上,a=−2时,⎢⎥11a1=⎢⎥12−11→⎢12−11⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦11a−2⎣⎦11−2−2⎣0000⎦⎡⎤12−×112⎡⎤12−11→⎢⎥−2111→⎢⎥03−33.⎢⎥⎢⎥⎣⎦0000⎣⎦0000公益宣传：保护环境·节约资源·关爱弱者——张小向272365083@qq.com答案仅供参考⋅打印/复印请选双面格式(节约纸张)祝您好运!2⎡⎤k111⎢⎥
4、11k13.000111数数数三三三///四四四设矩阵A=⎢⎥且秩(A)=3,则k=_______.11k1⎢⎥⎣⎦111kk111kkkk+3333+++1111×(−1)111111k111k111k101k−00解:
5、A
6、===(k+3)=(k+3)11k111k111k100k−10111k111k111k000k−13=(k+3)(k−1).秩(A)=3⇒
7、A
8、=0⇒k=−3或1.当k=1时,秩(A)=1,因此k=−3.304022224.000111数数数四四四设行列式D=,则第四行各元素余子式之和的值为________.07−00
9、53−22解:[方法一]D的第四行各元素余子式依次为040340300304M41=222=−56,M42=222=0,M43=222=42,M44=222=−14.−70000007−007−0于是有M41+M42+M43+M44=−28.30402222[方法二]计算“D的第四行各元素余子式之和”相当于把按第四行展开,而0−700−−1111304034034022223+2=−7×(−1)222=7440=−28.0−700−−111−−111−−11113040304022222222[注]计算“D的第四行各元素代数余子式之和”相当于把
10、按第四行展开,而=0−7000−700111111110.2225.000222数数数一一一已知实二次型f(x1,x2,x3)=a(x1+x2+x3)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py可化成标准形f2=6y1,则a=________.⎡a22⎤解:二次型f(x,x,x)=a(x2+x2+x2)+4xx+4xx+4xx的矩阵为A=⎢2a2⎥.又因为f(x,x,x)经123123121323123⎢⎥⎣22a⎦2正交变换x=Py可化成标准形f=6y1,可见A的特征值为λ1=6,λ2=λ3=0.于是有3a=a+a+a=trA=λ1
11、+λ2+λ3=6.故a=2.2[注]也可以由f(x1,x2,x3)经正交变换x=Py可化成标准形f=6y1看出A的秩为1,因而a=2.⎡⎤02−−26.000222数数数二二二矩阵⎢22−2⎥的非零特征值是________.⎢⎥⎣⎦−−222公益宣传：保护环境·节约资源·关爱弱者——张小向272365083@qq.com答案仅供参考⋅打印/复印请选双面格式(节约纸张)祝您好运!3λ2222解:根据对角线法则,−−22λ2=λ(λ−2)+8−8−4(λ−2)+4(λ−2)−4λ=λ(λ−4),可见该矩阵的22λ−2非零特征值是4.⎡⎤02−−2[
12、注]由此可以进一步看出A=⎢22−2⎥不能与对角矩阵相似.因为假若A相似于对角矩阵,则A⎢⎥⎣⎦−−222⎡⎤400相似于Λ=⎢000⎥,因而秩(A)
