[研究生入学考试]线性代数第9讲

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1、线性代数第9讲向量组的秩8/4/20211在R3中,给定四个共面向量a1,a2,a3,a4,它们显然是线性相关的,但它们中存在两个线性无关的向量,而任一个向量都可由这两个线性无关的向量线性表示(例如:a1,a2线性无关,a3,a4可由a1,a2线性表示).此外它们中任意三个向量是线性相关的,即它们中任一个线性无关的部分组最多只含2个向量,数2就叫作这个向量组的秩.8/4/20212a1a2a3a48/4/20213定义6如果向量组a1,a2,...,as中存在r个线性无关的向量,且其中任一个向量可由这r个线性无关的向量线性表示,则数r称为向量组的秩,记作秩{a1,a2,...,as}=

2、r.显然,如果a1,a2,...,as线性无关,则秩{a1,a2,...,as}=s;只含零向量的向量组的秩为零.8/4/20214定义7如果向量组b1,b2,...,bt中每个向量可由向量组a1,a2,...,as线性表示,就称前一个向量组可由后一个向量组线性表示.如果两个向量组可以互相线性表示,则称这两个向量组是等价的.8/4/20215定理4如果向量组b1,b2,...,bt可由向量组a1,a2,...,as线性表示,且t>s,则b1,b2,...,bt线性相关.证设验证b1,b2,...,bt线性相关,考察x1b1+x2b2+...+xtbt=0,(3.11)即8/4/202

3、16当时,(3.11)式显然成立.而(3.12)式是t个未知量x1,x2,...,xt的齐次线性方程组,由于t>s(方程个数),故方程组(3.12)式有非零解,即有不全为零的x1,x2,...,xt使(3.11)式成立,所以b1,b2,...,bt线性相关.8/4/20217推论1如果向量组b1,b2,...,bt可由向量组a1,a2,...,as线性表示,且b1,b2,...,bt线性无关,则ts.推论2若秩{a1,a2,...,as}=r,则a1,a2,...,as中任何r+1个向量都是线性相关的.证不妨设a1,a2,...,ar是向量组a1,a2,...,as中的r个线性无关的

4、向量,由于该向量组中任一个向量可由a1,a2,...,ar线性表示,由定理4立即可得其中任何r+1个向量都线性相关.8/4/20218如此,向量组的秩可等价地定义为:若向量组中存在r个线性无关的向量,且任何r+1个向量都线性相关,就称数r为向量组的秩.由此可知,秩为r的向量组中,任一个线性无关的部分组最多只含r个向量.因此,秩为r的向量组中含有r个向量的线性无关组,称为该向量组的极大线性无关组.一般情况下,极大线性无关组不唯一,但不同的极大线性无关组所含向量个数是相同的.8/4/20219推论3设秩{a1,...,as}=p,秩{b1,...bt}=r,如果向量组b1,...bt可由向

5、量组a1,...,as线性表示,则rp.证不妨设a1,...,ap和b1,...br分别是两个向量组的极大无关组,因此有又已知8/4/202110即b1,...br可由a1,...,ap线性表示,于是由推论1可得rp.由推论3立即可得,等价的向量组的秩相等.8/4/2021113.2矩阵的秩8/4/202112对于矩阵A,把它的每一行(列)称为A的一个行(列)向量,把A的行(列)向量组的秩称为A的行(列)秩.显然,mn矩阵A的行秩m,列秩n.8/4/202113阶梯形矩阵(其中a110,a230,a340)的行秩=3,列秩=3,8/4/202114这是因为,把A按行和按

6、列分块为则(i)由x1a1+x2a2+x3a3=0可推出数x1,x2,x3必须全为零,故a1,a2,a3线性无关,而a4=O,因此A的行秩等于3.(ii)由y1b1+y3b3+y4b4=0可推出数y1,y2,y4必须全为零,故b1,b3,b4线性无关,又易见A的任意4个列向量都线性相关)则A的列秩等于3.8/4/202115由此例可得一般结论:阶梯形矩阵的行秩等于列秩,其值等于阶梯形矩阵的非零行的行数.用高斯消元法解线性方程组AX=b的消元步骤,是对增广矩阵[A,b]作初等行变换将其化为阶梯形矩阵,而初等行变换的倍乘,倍加变换实际是对行向量作线性运算,因此,需要研究初等行变换是否改变矩

7、阵的行秩和列秩.8/4/202116定理1如果对矩阵A作初等行变换将其化为B,则B的行秩等于A的行秩.证只需证明作一次行初等变换不改变矩阵的行秩.设A是mn矩阵,A的m个行向量记作a1,a2,...,am.(i)对换A的某两行位置,所得到的矩阵B的m个行向量是A的m个行向量,显然B的行秩等于A的行秩.(ii)把A的第i行乘非零常数c得B,则B的m个行向量a1,a2,...,cai,...,am,显然B的行向量组与A的行向量组是等价的,因此