线性代数实践(教师班第8讲)

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1、第8章用向量空间解方程组8.1向量和向量空间二维空间R2中的向量用两个沿列向的元素表示u=[2;4];v=[3;-1];plot([2,3],[4,1],’x’);holdon%若用中的子程序drawvec，drawvec(u);holdondrawvec(v,’g’);holdoff二维向量张成的空间平面上的任何一点[w1;w2]是不是一定能用u和v的线性组合来实现？即是不是一定能找到一组常数[c1,c2]，使得c1,c2取所有可能的值，得到的w的集合就是u和v张成的子空间，在所给的u和v下，它是一个平面。若

2、u和v两个向量的各元素成简单的比例关系，合成的向量只能在一根直线上，不可能张成整个二维平面。这种情况下，称这两个向量u和v是线性相关的。2．三维空间中的向量若v1,v2和v3都是三维空间的列向量。可以用空间坐标中的三个点，或从坐标原点引向这三点的箭头来表示。用矩阵代数表示如下如果三个基本向量之间线性无关，那么它们的线性组合可以覆盖（张成）整个三维空间。如果三个向量共面，即相关，就不能张成三维空间。判断三个向量的线性相关性，可用行列式。三维空间向量的相关性即看三向量并列所得矩阵的行列式det(A)=0相关det(A

3、)≠0不相关行列式的几何意义:在二维是两个向量组成的平行四边形面积，在三维是三个向量组成的平行六面体的体积。行列式的几何意义二维三维det(A)=右图平行六面体的体积(v1,v2)(u1,0)a2+a1,a3张成的平面a1,a3张成的平面a3a2a10n维向量的相关性在进入三维以上的空间时，已经没有可与面积、体积直接相当的概念可用了，所以采用了秩的概念。如果A的行列式为零，也就是它的秩r小于n时，说明这n个向量是线性相关的。秩的概念也概括了面积存在（r2）和体积存在（r3）的意义，因此，它是更高度的抽

4、象。8.2向量空间和基向量若r个向量是线性无关的，则它们的线性组合的全体V就构成了r维空间Rr。如果它不是空集，则V称为向量空间。生成V的r个线性无关的向量v称为基向量或基（Basis）。当rn时，给定的n个向量就是一组基。如果rn，那就要在n个向量中选出r个线性无关的向量。用秩的概念还无法判定哪些向量是线性无关的，这时又要藉助于把矩阵简化为阶梯形式的方法。例8.2求四个五维向量的子空间这四个向量组成的矩阵如右，对它进行行阶梯简化。程序为：A[4,5,4,1;0,3,0,1;2,1,2,0;5,

5、4,5,3;1,4,1,1][U0,ip]rref(A)得到ip=1,2,4其三个枢轴列对应的就是三个线性无关的列向量。三个向量空间位置演示程序三维空间中，为了观察三个向量的空间关系，ATLAST手册还提供了一个演示程序viewsubspaces(u,v,w)，它用蓝色直线显示向量u，同时用红色显示v和w所组张成的平行四边形平面，画在同一张立体图上。例如：u=[-1;1;8];v=[5;-4;7];w=[-3;1;-5];viewsubspaces(u,v,w),gridon三个向量的起点都是xyz0

6、的原点。要看清其几何意义，还是需要一定的空间想象力。三个向量的空间关系例8.3w是否在v1,v2,v3的空间内设w是否能由v1,v2,v3的线性组合构成的问题，取决于线性方程组解的存在性。v1=[7;-4;-2;9];v2=[-4;5;-1;-7];v3=[9;4;4;-7];w=[-9;7;1;-4];v=[v1,v2,v3];c=vw%把基向量组成矩阵v求解也可以按det(v)是否为零进行判别8.3向量的内积和正交性在三维空间中，x和y两个向量的内积定义为[x,y]x1y1x2y2x3y3。m维情况可

7、以写成这是一个标量。向量x与自己求内积：得到的是其各分量的平方和，其平方根就等于向量的长度（或模、或范数norm）。内积的几何意义在平面情况，两向量的内积除以它们的长度是它们夹角的余弦，可以利用下图证明。根据余弦定律，最后得到此结果可推广到高维空间，只是被抽象化了：例8.4基向量长度规一化和夹角例8.4求例8.3中的单位基向量v10,v20,v30，并分别求它们之间的夹角。解：解题的程序为ag822：v10=v1/norm(v1),v20=v2/norm(v2),v30=v3/norm(v1),theta12=

8、acos((v1'*v2)/(norm(v1)*norm(v2)))theta13=acos((v1'*v3)/(norm(v1)*norm(v3)))theta23=acos((v3'*v2)/(norm(v3)*norm(v2)))正交基向量的生成两向量x，y正交的条件是它们的内积为零。给出向量求正交基常用施密特算法，ATLAST手册中给出了相应的程序gschmidt